Сходимость ряда.

[TamaGOch]

ряд по $n$ от 1 до бесконечности с таким общим членом
$\sin(\frac{\sin(n)}{n^\frac13})$

не получается исследовать на сходимость, прошу совета.
пытался разложить по Маклорену, сначала на два слагаемых и о-малое,

$\sin(\frac{\sin(n)}{n^\frac13}) = \frac{\sin(n)}{n^\frac13} - \frac{\sin^3(n)}{6n}$

первое слагаемое сходится по признаку Дирихле, от второго беру модуль и заменяю на эквивалентный, т.е. на

$\frac{|\sin^3(n)|}{n}$, сходимость которого доказать не могу, быть может вы подскажете.

2-ая попытка заключалась в том, чтобы разложить на 3 слагаемых и о-малое, расписывать не буду, скажу только, что для доказательства сходимости не хватает доказать сходимость ряда с общим членом как выше, только без модуля, т.е. $\frac{\sin^3(n)}{n}$.
Если использовать опять же признак Дирихле, то надо доказать, что ряд из синусов в кубе ограничени, в чём так же не силён, т.к. работали до этого только с первой степенью.
Подскажите пожалуйста какой-нибудь выход, быть может разложить синус в кубе на произведение синуса на синус в квадрате, потом разложить квадрат, не знаю

[arseniiv]

TamaGOch в сообщении #803192 писал(а):

Если использовать опять же признак Дирихле, то надо доказать, что ряд из синусов в кубе ограничени, в чём так же не силён, т.к. работали до этого только с первой степенью.

Если функция ограничена, то и её куб ограничен. Это же простое неравенство. Если же в кубе был бы аргумент синуса, ограниченность тоже ясна. В этом случае можно доказать от противного, например.

[TamaGOch]

arseniiv, большое спасибо, но свёл к такому:
$\sin^3(n) = \sin(n)(\frac{1-\cos(2n)}{2}) = \frac12\sin(n)-\frac12(\sin(n)\cos(2n)) = \frac12\sin(n) -\frac12(\sin(2n+1)-\sin(2n-1)$
а дальше как обычно))