Может ли полностью смешанное состояние быть перепутанным?

[paladin17]

Здравствуйте.
Собственно, вопрос вынесен в заголовок.
Предположим, имеется система двух спинов, например, в одном из состояний Белла. Так вот, если это состояние каким-то образом сделать полностью смешанным (например, приравнять нулю недиагональные элементы матрицы плотности), то сохранится ли при этом перепутанность?

[Munin]

Нет.

[fizeg]

А у меня сразу такой вопрос, недиагональные в каком базисе?

-- 18.12.2013, 17:52 --

Если например состояние $|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2-|\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2$ и базис строится из состояний вида $|\psi\rangle_1\otimes|\phi\rangle_2$, то без диагональных членов никакой спутанности нет

На языке матрицы плотности спутанность означает невозможность представления $\rho=\sum_i p_i\rho_i^{(1)}\otimes\rho_i^{(2)}$

Если же у вас матрица диагональна в таком факторизуемом базисе $\rho=\sum p_i |\psi_i\rangle|\phi_i\rangle\langle\phi_i|\langle\psi_i|$ она уже записана в таком представлении

-- 18.12.2013, 17:55 --

или совсем просто, у вас получается просто одно из неспутанных состояний с какой-то вероятностью

[Munin]

fizeg в сообщении #803091 писал(а):

А у меня сразу такой вопрос, недиагональные в каком базисе?

Полностью смешанное - это я так понимаю, матрица плотности единичная, а она в любом базисе такая.

[paladin17]

fizeg, имелся в виду базис из векторов вида $|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2, |\downarrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2$ и т.п.

Задам вопрос более конкретно: есть матрица плотности вида $\frac{1}{2}(|\uparrow\rangle_1 |\downarrow\rangle_2 \langle\downarrow|_2 \langle \uparrow|_1+ |\downarrow\rangle_1 |\uparrow\rangle_2 \langle\uparrow|_2 \langle \downarrow|_1)$. Является ли состояние перепутанным? Насчёт факторизации я как-то пробуксовываю. :(
Полностью смешанное - да, имелась в виду пропорциональность матрицы плотности единичной.

[fizeg]

Во-первых, она не полностью смешанная, в ней для этого не хватает еще двух членов

А во-вторых, она является суммой двух матриц
$\frac{1}{2}|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2\langle\downarrow|_2\langle\uparrow|_1=\frac{1}{2}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\langle\uparrow|_1\otimes|\downarrow\rangle_2\langle\downarrow|_2\Bigr)$
и
$\frac{1}{2}|\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2\langle\uparrow|_2\langle\downarrow|_1=\frac{1}{2}\Bigl(|\downarrow\rangle_1\langle\downarrow|_1\otimes|\uparrow\rangle_2\langle\uparrow|_2\Bigr)$
так что ответ: нет, никакой спутанности нет

[fizeg]

Кстати говоря,

Если вы рассмотрите два состояния Белла
$|\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_21\otimes|\downarrow\rangle_2\Bigr)$
и
$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_21\otimes|\uparrow\rangle_2\Bigr)$
Каждому из них будет естественно соответствовать матрица плотности, не представляемая в виде суммы факторизуемых матриц.

Если сложить их матрицы плотности с некоторыми коэффициентами (т.е. сказать, что с какой-то вероятностью получается $|\phi\rangle$, а с какой-то $|\psi\rangle$) то вообще говоря получившаяся в итоге тоже будет непредставима в виде суммы фактуризуемых матриц.

Но есть особый случай $\rho=\frac{1}{2}|\phi\rangle\langle\phi|+\frac{1}{2}|\psi\rangle\langle\psi|$ оказывается представляемой в виде суммы факторизуемых матриц (т.е. в ней нет спутанности)

Это легко увидеть, если перейти к повернутым базисам для обеих подсистем
$|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\Bigr),\quad|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\Bigr)$

Тогда соответствующие матрицы плотности
$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-1&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

Есть простое необходимое условие для матрицы плотности без спутанности: если сделать частичное транспонирование только для одной из подсистем, то получившаяся матрица не должна иметь отрицательных собственных значений. Если пространства состояний достаточно маломерные, то это условие оказывается достаточным, т.е. спутанность = отрицательные с/з частично транспонированной матрицы

-- 18.12.2013, 20:20 --

сам критерий именной: Peres-Horodecki criterion

[paladin17]

fizeg, да, я ошибся: матрицы-то у нас четырёхмерные.

Хорошо, предположим, здесь нет перепутанности. А как интерпретировать корреляции, которые мы здесь имеем, - как чисто классические?
То есть ведь при измерении в подсистеме 1, например, получив $|\uparrow\rangle_1$, мы можем с уверенностью говорить, что в подсистеме 2 мы имеем $|\downarrow\rangle_2$. Или я ошибаюсь?
Если же я не ошибаюсь, то в чём тут принципиальная разница с ЭПР-частицами?

[fizeg]

paladin17
Это в точности один старый пример: вы рассылаете двум адресатам пару носков одинакового, но случайного цвета.

ЭПР корреляции с двумя частицами обнаруживаются не так просто и там играет роль какие именно измерения производятся

Мне больше нравится эксперимент с GHZ состояниями. Хотя он и требует трех частиц, зато все достаточно просто получается

-- 19.12.2013, 11:19 --

Ну да. Я и там про носки говорю надо б автора аналогии подыскать

-- 19.12.2013, 11:22 --

Хе-хе, это идет от самого Белла про Бертлманна и там все несколько иначе

[limarodessa]

fizeg в сообщении #803195 писал(а):

...Есть простое необходимое условие для матрицы плотности без спутанности: если сделать частичное транспонирование только для одной из подсистем, то получившаяся матрица не должна иметь отрицательных собственных значений. Если пространства состояний достаточно маломерные, то это условие оказывается достаточным, т.е. спутанность = отрицательные с/з частично транспонированной матрицы

-- 18.12.2013, 20:20 --

сам критерий именной: Peres-Horodecki criterion

Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Том 1. - М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика; Институт компьютерных исследований, 2008. - 464 с.На странице 73: писал(а):

Каждому чистому двухкубитовому состоянию ${\left| \psi \right\rangle _{AB}}$ можно сопоставить положительное целое число, число Шмидта, представляющее собой количество ненулевых собственных значений ${\rho _A}$ (или ${\rho _B}$) и, следовательно, - число слагаемых в разложении Шмидта состояния ${\left| \psi \right\rangle _{AB}}$. С помощью этой величины мы можем определить, что значит быть запутанным для чистого двухкубитового состояния: ${\left| \psi \right\rangle _{AB}}$ запутано (или несепарабельно) если его число Шмидта больше единицы; в противном случае оно сепарабельно (или не запутано.)

В связи с этим у меня два вопроса:

1. Как это согласуется с критерием Peres–Horodecki ?

2. В процитированном мною фрагменте речь идет о двух кубитах. Остаётся ли это справедливым и для большего (произвольного) числа кубитов ?

-- Чт дек 19, 2013 19:07:03 --

fizeg в сообщении #803195 писал(а):

...Это легко увидеть, если перейти к повернутым базисам для обеих подсистем
$|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\Bigr),\quad|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\Bigr)$...

Там во втором базисе опечатка - должен стоять "$-$" :

$|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle-|\downarrow\rangle\Bigr)$ или я неправильно понял ?

-- Чт дек 19, 2013 19:30:50 --

fizeg в сообщении #803091 писал(а):

На языке матрицы плотности спутанность означает невозможность представления $\rho=\sum_i p_i\rho_i^{(1)}\otimes\rho_i^{(2)}$

Там ещё нужно добавить:

$\sum_i p_i=1$

Separable state

или я не прав ?

[fizeg]

limarodessa в сообщении #803503 писал(а):

1. Как это согласуется с критерием Peres–Horodecki ?

Прекрасно согласуется, учитывая, что в процитированном вами отрывке речь про чистые состояния, а в критерии Переса-Хородецки про более общий случай смешанного состояния.

limarodessa в сообщении #803503 писал(а):

2. В процитированном мною фрагменте речь идет о двух кубитах. Остаётся ли это справедливым и для большего (произвольного) числа кубитов ?

Ну я специально в критериях для большего числа спутанных систем не разбирался, но по-моему достаточно очевидный подход в лоб: объединяете подсистемы в две большие подсистемы произвольным образом и применяете критерии для состоящей из двух подсистем. Сепарабельная система должна оставаться сепарабельной для любого такого объединения.

limarodessa в сообщении #803503 писал(а):

Там во втором базисе опечатка - должен стоять "$-$" :

Разумеется

limarodessa в сообщении #803503 писал(а):

Там ещё нужно добавить:

$\sum_i p_i=1$

Если все матрицы плотности фигурирующие в формуле имеют единичный след, то легко вывести, что эта формула получится автоматически. Если же не все матрицы плотности нормированы как надо, то это требование будет некорректным

-- 20.12.2013, 00:15 --

Например в моем посте про сепарабельную смесь двух спутанных состояний у меня ни одна из матриц не нормирована так, чтоб ее трейс был единичным Но их след все-таки равен одному числу и это требование выполняется

[fraqix]

paladin17 в сообщении #803077 писал(а):

Здравствуйте.
Собственно, вопрос вынесен в заголовок.
Предположим, имеется система двух спинов, например, в одном из состояний Белла. Так вот, если это состояние каким-то образом сделать полностью смешанным (например, приравнять нулю недиагональные элементы матрицы плотности), то сохранится ли при этом перепутанность?

Вопросы чистоты/смешанности состояний и их сепарабельности/запутанности независимы, одно никак не связано с другим, возможны все комбинации свойств. Однако, все состояния, нарушающие неравенства Белла, запутанные.