Уравнение с комплексными числами

[Kink]

$\bar{x} = x^n^-^1$

$x$ - комплексное число. Пробовал решить так:

$\bar{x}x = x^n$ - поделил на $x$ обе части
$a^2+b^2 = (a+ib)^n$ - перевёл в алгебраическую форму записи
Далее решал при разных $n$, получал ответы, похожие на значения синусов и косинусов углов $\pi/n$, но в некоторых случаях это было не так. Помогите.

[arseniiv]

Стоило записать, наверно, не в алгебраической, а в экспоненциальной форме.

[Aritaborian]

Можно также воспользоваться геометрическими соображениями (впрочем, это почти то же самое, что записать в экспоненциальной форме ;-).

[mihailm]

немного проще домножить на икс

[arseniiv]

А ещё раз-то зачем?

[mihailm]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #802239 писал(а):

А ещё раз-то зачем?

Решение ТС (начало) то я и не посмотрел(, виноват

[Kink]

Ах да, я там в начале написал, что поделил, а на самом деле домножил.

arseniiv в сообщении #802226 писал(а):

Стоило записать, наверно, не в алгебраической, а в экспоненциальной форме.

$e^a^+^i^b$?
Не понимаю, как использовать это в данном случае, да и ещё не было этого на парах.

[mihailm]

Экспоненциальная это просто краткая тригонометрическая запись, она несомненно удобнее, но на первых порах несколько необычна для изучающих. Пользуйте тригонометрическую форму

[arseniiv]

mihailm в сообщении #802290 писал(а):

Пользуйте тригонометрическую форму

С ней возведение в степень непрозрачное. Но раз её не было на парах…

[ewert]

Там эн либо равно двойке, либо не равно. Если равно, то всё тривиально. Если не равно, то из исходного уравнения очевиден модуль этого числа -- это либо ноль, либо единица. И если он не ноль, а единица, то вот только тогда и надо домножать на зет, после чего всё тоже очевидно.

[Kink]

Так, разобрался по формуле до этого:

$r=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$

но что дальше?

[ewert]

Kink в сообщении #802322 писал(а):

но что дальше?

Дальше -- взад. Разберитесь сперва с модулями. Вы обязаны знать к этому моменту как минимум три вещи:

1) что такое $|\overline z|$?

2) что такое $|z^m|$? (т.е. что такое $|z_1\cdot z_2|$ вообще -- и, в частности, что такое $|z^m|$?)

3) что такое $\overline z\cdot z$?

Ну и потом уже разные оговорки насчёт особых случаев (их тут два: пресловутое $n=2$ и, кроме того, $n=0$).

[Kink]

ewert в сообщении #802336 писал(а):

Kink в сообщении #802322 писал(а):

но что дальше?

Дальше -- взад. Разберитесь сперва с модулями. Вы обязаны знать к этому моменту как минимум три вещи:

1) что такое $|\overline z|$?

2) что такое $|z^m|$? (т.е. что такое $|z_1\cdot z_2|$ вообще -- и, в частности, что такое $|z^m|$?)

3) что такое $\overline z\cdot z$?

Ну и потом уже разные оговорки насчёт особых случаев (их тут два: пресловутое $n=2$ и, кроме того, $n=0$).

Значит, т.к. $|\overline x|=|x|$, то
$|x|=|x^n|$
$|x|=|x|^n$
$1=|x|^n^-^1$
$|x|=1$

$\cos(\phi)-i\sin(\phi)=\cos((n-1)\phi)+i\sin((n-1)\phi)$

Отсюда $x=\cos(2k\pi/n)+i\sin(2k\pi/n)=\sqrt[n]{-1}. Так?

[Null]

Цитата:

$|x|=|x|^n$
$1=|x|^n^-^1$

пропущен случай. И, по моему лучше писать x^{n-1}

Цитата:

Отсюда $x=\cos(2k\pi/n)+i\sin(2k\pi/n)=\sqrt[n]{-1}. Так?

Да

[ewert]

Kink в сообщении #802590 писал(а):

Значит, т.к. $|\overline x|=|x|$, то
$|x|=|x^n|$

Тут сбой на единичку по сравнению с исходным условием, но идея -- да, именно такая. Только не забывайте, что и нули в природе тоже иногда случаются. Это пока что.