Число векторов векторного пространства на конечным полем

[ean]

Правильно я понимаю, что число векторов в $n$ мерном векторном пространстве над конечным полем из $q$ элементов равно $q^n$?
Пространство $n$ мерное, т.е. в базесе $n$ векторов, значит все вектора пространства - это все их линейные комбинации с коэффициентами из поля, т.е. $n$ позиций, в каждой из которых $q$ возможных значений ($q$-ичная система счисления со словами длины $n$), т.е. $q^n$.

-- Вт дек 17, 2013 09:07:13 --

а разных базисов в таком пространстве $q \cdot n$?

[arseniiv]

ean в сообщении #802476 писал(а):

а разных базисов в таком пространстве $q \cdot n$?

Базисы двумерного пространства над $\mathbb Z_2$: $(01,10),(10,01),(01,11),(10,11),(11,01),(11,10)$. Больше четырёх. Попробуйте ещё раз!

-- Вт дек 17, 2013 12:21:59 --

Если считать неупорядоченными, то меньше четырёх и тоже не подходит.

[iifat]

Если уж прям буквально читать определения, ничто не мешает, насколько я помню, взять $\mathbb R^n$ и объявить его векторным пространством над полем, к примеру, рациональных чисел. Или над полем $\{0, 1\}$. Размерность, конечно, бесконечная.
С произвольным конечным полем таки будут некоторые проблемы, но, подозреваю, и для них можно придумать чего-нить столь же неожиданное, сколь бесполезное.
А, нет, даже для $\{0, 1\}$ пространство вот так запросто не построишь... Подумаю ещё.

[ean]

Наверное, про количество базисов правильно так $q \cdot n -1$ (исключаем нули). Для примера получаются следующие базисы $(e_1,e_2),(e_1,e_1+e_2),(e_2,e_1+e_2)$. Упорядоченными они быть не должны.

-- Вт дек 17, 2013 10:03:07 --

надо ещё подумать

-- Вт дек 17, 2013 10:11:05 --

для трёхмерного пространства над $\mathbb Z_2$ это уже не работает, там гораздо больше. Скорее что-нибудь про число сочетаний.

[Joker_vD]

Как построить базис $\mathbb F_q^n$? Берем один ненулевой вектор, теперь берем второй, который не лежит в линейной оболочке, натянутой на первый вектор — сколько таких векторов? Теперь берем третий вектор, который не лежит в линейной оболочке, натянутой на первые два вектора, и т.д.

[ean]

Пусть для $k$-мерно пространства кол-во разных базисов $t_k$. При добавлении единицы к размерности добавляем некоторый вектор $e_{k+1}$ с координатами $(0,....,0,1)$. Тогда к каждому базису $k$-мерного пространства можно добавить $q^{k+1}-q$ вектор (векторы с последней компонентой не равной нулю), так чтобы получался базис $k+1$-мерного пространства. То есть $t_{k+1}=t_k \cdot (q^{k+1}-q)$.
Тогда получается, что $t_n=\prod_{k=1}^n(q^{k+1}-q)$. При подстановке конкретных значений результаты неправильные. Помогите найти ошибку в моих рассуждениях.

-- Вт дек 17, 2013 11:39:59 --

Joker_vD в сообщении #802517 писал(а):

сколько таких векторов?

таких векторов $q^n-q$

[provincialka]

А почему у предыдущих векторов не может появиться единица в последнем разряде?

[ean]

provincialka в сообщении #802527 писал(а):

А почему у предыдущих векторов не может появиться единица в последнем разряде?

тогда совпадёт с чем-нибудь из "нового" набора

[patzer2097]

ean в сообщении #802525 писал(а):

Тогда к каждому базису $k$-мерного пространства можно добавить $q^{k+1}-q$ вектор (векторы с последней компонентой не равной нулю), так чтобы получался базис $k+1$-мерного пространства. <...>Помогите найти ошибку в моих рассуждениях.

Вы не учли те базисы, у которых среди первых $k$ векторов есть векторы с ненулевой последней компонентой, поэтому ответ неправильный.

А Вы попробуйте воспользоваться советом Joker_vD. Сколько ненулевых векторов в $\mathbb{F}^n$? Правильно, $q^n-1$. А сколько векторов не выражаются через него линейно? Вы тоже ответили --- $q^n-q$ --- это число способов выбора первых двух векторов базиса. А сколько есть способов выбрать третий вектор?

[ean]

patzer2097 в сообщении #802549 писал(а):

Вы не учли те базисы, у которых среди первых $k$ векторов есть векторы с ненулевой последней компонентой, поэтому ответ неправильный.

Когда мы повышаем размерность пространства, мы, грубо говоря, добавляем новую координату. Мы получаем столько вариантов расширить базис, сколько есть векторов в этот новом пространстве, у которых последняя компонента ненулевая. Всего разных векторов $q^n$, с нулевой компонентой $q$ векторов, значит получаем $q^n-q$ вариантов расширения базиса. Тогда всего разных базисов количество базисов в предыдущем пространстве умножить на $q^n-q$. Если я правильно понимаю, в эти $q^n-q$ входят все векторы с ненулевой последней компонентов, т.е. я их не теряю. Или что-то не так?

patzer2097 в сообщении #802549 писал(а):

А Вы попробуйте воспользоваться советом Joker_vD. Сколько ненулевых векторов в $\mathbb{F}^n$? Правильно, $q^n-1$. А сколько векторов не выражаются через него линейно? Вы тоже ответили --- $q^n-q$ --- это число способов выбора первых двух векторов базиса. А сколько есть способов выбрать третий вектор?

мне кажется, я этим способом и иду, добавляю те векторы, которые не влезают в линейную оболочку.

[Joker_vD]

Так, вот вам $\mathbb F_q^3$, посчитайте для него количество базисов своим методом, тогда и посмотрим, так или не так.