Помогите найти доказательство

[provincialka]

Aritaborian в сообщении #802177 писал(а):

Ну так это не противоречит.

Ну как же, если мы докажем, что преобразование проективное, из этого еще не будет следовать, что оно аффинное.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #802185 писал(а):

Да ну, какие ж это угловые скобки? Угловые скобки — это $\langle \; \rangle$.

И в самом деле ;-)

Kolobash в сообщении #802184 писал(а):

Вы имеете в виду написать формулы аффинного и ортогонального преобразования для скалярного произведения векторов, я верно понял?

Нет, я имел в виду матрицу преобразования. Но это тоже попробуйте.

-- 16.12.2013, 19:32 --

(svv)

Ох уж эти жаргонизмы. Музыканты, к примеру, тоже любят выёживаться и говорить «текста́», а не «те́ксты». Примеров множество. Но всё это — не более, чем неграмотность, вы ж понимаете.

provincialka в сообщении #802174 писал(а):

А я всегда думала, что "прямизну" сохраняют проективные преобразования, а не аффинные. То есть, не только аффинные.

Я-то грешным делом подумал, что из ваших слов следует, что аффинные $\subset$ проективные.

[Kolobash]

arseniiv в сообщении #802191 писал(а):

Kolobash в сообщении #802188 писал(а):

Ну не умею я еще всем тут хорошо пользоваться, буду учиться, обещаю

Это только в помощь. Если вы наведёте курсор на любую формулу, покажется её код.

Если говорить акууратно, то аффинное преобразование действует на точки, раз уж именно они фигурируют в приведённом определении. Так что надо сначала переформулировать определение аффинного преобразования для векторов присоединённого пространства, а потом записывать и сравнивать. (К счастью, такое преобразование осуществимо. Не зря же аффинное пространство называется аффинным…)

В таком случае, можно сказать так?
"Аффинное преобразование определяет враимно однозначное отображение одной прямой на другую, при нем прямая линия переходит в прямую линию, отрезок в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные. При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется."
Ну и дальше я могу долго цитировать учебник

-- 16.12.2013, 21:35 --

Aritaborian в сообщении #802193 писал(а):

Нет, я имел в виду матрицу преобразования. Но это тоже попробуйте.

Матрицы поворота, сдвига и симметрии у меня написаны уже для ортогонального преобразования.

[provincialka]

Если не использовать матрицы, достаточно доказать про прямизну и про параллельность, остальное следует из этого.

[Kolobash]

provincialka в сообщении #802204 писал(а):

Если не использовать матрицы, достаточно доказать про прямизну и про параллельность, остальное следует из этого.

А можно тут немножко поподробнее?

[arseniiv]

Kolobash в сообщении #802196 писал(а):

В таком случае, можно сказать так?
"Аффинное преобразование определяет враимно однозначное отображение одной прямой на другую, при нем прямая линия переходит в прямую линию, отрезок в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные. При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется."

Лучше просто написать формулу с векторами. Вот аффинное преобразование $A$ как-то действует на точки $M,N,P,\ldots$. Как оно действует на векторы $\vec a,\vec b,\vec c,\ldots$? Из определения можно вывести. Да и действие ортогонального на векторы вы ещё не выписали! Длинными словами оперировать труднее, чем короткими формулами.

[Oleg Zubelevich]

я где-то видел теорему типа такой. Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ гладкое ортогональное в смысле , скажем , стандартной метрики $\delta_{ij}$ преобразование. Тогда $f$ -- аффинное. В формулировке не предполагается линейность

[provincialka]

Kolobash, вам на каком уровне доказывать надо? Я как-то давно писала статейку об этом для школьников и даже книжечку, но там, конечно, все на плоскости. Если надо на серьезном уровне и в $\mathbb R^n$ - не подойдет.