Найти массу дуги окружности...

[Novice]

Найти массу дуги окружности x^2+y^2=a^2, расположенной в I квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты.

[Ivan_primat]

Перейди в полярные координаты и разбивай дугу на элементарные массы.

[Zai]

Масса равна моменту инерции дуги с единичной плотностью массы по длине относительно абсциссы.

[olga_helga]

а как тогда найти массу материальной дуги L: 4y=x^4,0<=x<=1 линии при линейной плотности f(x,y,z)=x^5+8xy[/math]

[Brukvalub]

Запишите соответствующий задаче криволинейный интеграл первого рода и вычислите его.

[нг]

olga_helga
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка). Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение.

[olga_helga]

Пасиба большущее !
Еще пара вопросов:
1) вычислить криволинейный интеграл второго рода

\[ \int\limits_L^{} {xdx + ydy + (x + y - 1)dz} \]

по линии L: прямая A(1,1,1) до B(2,3,4)
2) вычислить криволинейный интеграл

\[ \oint\limits_L {x^4 y^2 dx + \frac{{x^5 y}} {5}} dy \]

,применив формулу Грина(обход контура

\[ L:xy = 1,y = x,x = 2 \]

составляет область, ограниченную контуром,слева)
[/math]

[Someone]

1) Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки, и подставьте в формулу для вычисления криволинейного интеграла.
2) Раз сказано - применить формулу Грина, значит, надо её применить.

[olga_helga]

Имеется в виду

\[ \frac{{x - x2}} {{x2 - x1}} = \frac{{y - y2}} {{y2 - y1}} = \frac{{z - z2}} {{z2 - z1}} = t \]

. Я так и думала.
Тогда другой вопрос: найти длину линии

\[ L:x = Rcht,y = Rsht,z = Rt, - 1 \leqslant t \leqslant 1 \]

.Это значит надо вычислить криволинейный интеграл

\[ \int\limits_{t1}^{t2} {\sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 } dt} \]

?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Тогда другой вопрос: найти длину линии

\[ L = Rcht,y = Rsht,z = Rt, - 1 \leqslant t \leqslant 1 \]

.Это значит надо вычислить криволинейный интеграл

\[ \int\limits_{t1}^{t2} {\sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 } dt} \]

?

Да

[незваный гость]

olga_helga писал(а):

Это значит надо вычислить криволинейный интеграл $ \int\limits_{t1}^{t2} {\sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 } dt} $

Терминологический нюанс: это не криволинейный, а обычный интеграл.

[olga_helga]

Я хотела сказать,что криволинейный интеграл преобразуется в обычный интеграл по такой формуле, если линия Г задана параметрически.

[olga_helga]

Еще вопросик: с помощью формулы Гауса-Остроградского вычислить поверхностный интеграл вторго рода

\[ \iint\limits_G {(x^2 yz)}dydz + xdxdz + ydxdy \]

по внешней стороне замкнутой поверхности

\[ G:x = 0,x = \sqrt 2 ,y = 0,y = \sqrt 2 ,z = 0,z = \sqrt 2 \]

Это значит посчитать

\[ \begin{gathered} \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{S^ + } {Pdydz + Qdxdz + Rdxdy} = \hfill \\ = \iiint\limits_T {(\frac{{\partial P}} {{\partial x}} + \frac{{\partial Q}} {{\partial y}} + \frac{{\partial R}} {{\partial z}})dxdydz = } \hfill \\ = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {dx} \int\limits_0^{\sqrt 2 } {dy} \int\limits_0^{\sqrt 2 } {xyzdz} \hfill \\ \end{gathered} \]

?

Добавлено спустя 9 минут 22 секунды:

И еще:
Вычислить криволинейный интеграл

\[ \oint\limits_L {ydx + (x + y)dy + (x + y + z)} \]

по контуру

\[ L:x + y + z = 1,x = 0,y = 0,z = 0 \]

, применяя формулу Стокса.Это значит вычислить

\[ \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{S^ + } {\left( {\frac{{\partial R}} {{\partial y}} - \frac{{\partial Q}} {{\partial z}}} \right)dydz + } \left( {\frac{{\partial P}} {{\partial z}} - \frac{{\partial R}} {{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}} {{\partial x}} - \frac{{\partial P}} {{\partial y}}} \right)dxdy \]

=

\[ \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_{S^ + } {1dydz + } ( - 1)dxdz + 0dxdy \]

=

\[ I_1 - I_2 + I_3 \]

:

\[ I_1 = \int\limits_0^1 {dy} \int\limits_0^{1 - y} {dz} = 1/2 \]

;

\[ I_2 = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_0^{1 - x} {dz} = 1/2 \]

;

\[ I_3 = 0 \]

.Т.к.

\[ \cos \alpha > 0,\cos \beta > 0,\cos \gamma > 0, \]

, то исходный интеграл = 0.Правильно?

[Brukvalub]

1. Непонятен способ задания поверхности
2. Куда делся множитель 2 ?

[olga_helga]

1. Это значит пересечение перечисленных плоскостей.В результате чего получится куб с длиной ребра

\[ \sqrt 2 \]

, одна из вершин которго совпадает с началом координат, а остальные вершине принадлежат первому октанту(так вроде это называется), т.е.

\[ x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0 \]

2.

\[ ...\int\limits_0^{\sqrt 2 } {xyzdz} = ...xy\frac{{z^2 }} {2}\left| {_0^{\sqrt 2 } } \right. = ...xy \]

.
И в остальных двух аналогично. А по сути решение правильно,да?