Последовательность и предел

[Enot2]

Задачка:Последовательность задана следующим образом: $a_1=\frac{ab}{a+b}$ для действительных положительных $a$ и $b$. Также $a_{n+1}=\frac{ab}{a+b-a_n}$ при $n \geqslant 1$. Нужно найти $a_n$(его выражение) и предел $\lim_{n \to \infty}a_n$. Характеристическое уравнение найти не получится, ведь тут нелинейная зависимость... как тогда выводить $a_n$?

[provincialka]

Enot2 в сообщении #801833 писал(а):

Нужно найти $a_n$,то есть его выражение $\lim_{n \to \infty}a_n$

Непонятно. Вам нужна формула общего члена или предел?

-- 16.12.2013, 02:24 --

И, пожалуйста, ставьте пробелы после знаков препинания.

[Enot2]

provincialka в сообщении #801834 писал(а):

Enot2 в сообщении #801833 писал(а):

Нужно найти $a_n$,то есть его выражение $\lim_{n \to \infty}a_n$

Непонятно. Вам нужна формула общего члена или предел?

-- 16.12.2013, 02:24 --

И, пожалуйста, ставьте пробелы после знаков препинания.

Прошу прощения,исправил

[Aritaborian]

(Про $\TeX$)

Предел записывается так: \lim \limits _{n \to \infty}

[provincialka]

Сильно сомнительно, чтобы здесь было приличное выражение для $a_n$. Другое дело предел. Он явно связан с квадратным уравнением $x^2-(a+b)x+ab$.

[Otta]

provincialka в сообщении #801848 писал(а):

Сильно сомнительно, чтобы здесь было приличное выражение для $a_n$

Оно будет приличное - какое, вполне можно догадаться, посчитав хотя бы второй член последовательности. Не поможет - третий. И доказать выявленную зависимость по индукции, например. Наверняка есть более цивилизованные методы, это просто первое, что получилось.

[Null]

Нарисуйте графики $y=\frac{ab}{a+b-x}$ и $y=x$ и посмотрите как себя ведет последовательность.

-- Пн дек 16, 2013 08:57:14 --

Результат зависит от знаков $a$ и $b$

[Enot2]

$a_2=\frac{ab(a+b)}{(a+b)^2-ab}$делаю предположение: $a_n=\frac{ab(a+b)^{n-1}}{(a+b)^n-(n-1)ab}$однако уже для третьего это не работает:$a_3=\frac{ab((a+b)^2-ab)}{(a+b)^3-2ab(a+b)}$ Здесь уже вообще неясно,откуда в числителе могло взяться $-ab$ при $n=1,n=2$его не было,а при $n=3$ появилось...кажется тут вырисовывается факториал, потому что дальше тоже появляются похожие штуки...вообще,кажется,в числителе и в знаменателе работает Бином....

-- 16.12.2013, 11:04 --

А предел мы получаем из предельного перехода: $x=\frac{ab}{a+b-x}$ и решаем квадратное ур-ие

-- 16.12.2013, 11:07 --

что самое странное, получаются два предела....$a$ и $b$,видимо ответ на вопрос,какое-же из чисел предел даст нам только формула $a_n$-го

[Null]

Цитата:

что самое странное, получаются два предела....$a$ и $b$,видимо ответ на вопрос,какое-же из чисел предел даст нам только формула $a_n$-го

Не правда.
Ваша последовательность будет монотонна. Нарисуйте графики.

[Enot2]

Честно говоря,я не умею строить графики рекуррентно заданной последовательности.

[Null]

Вы бы хоть читали сообщения что-ли. А то вам помочь будет невозможно.

[provincialka]

Вы зря при подсчете очередных членов последовательности скобки не раскрыли.

[Enot2]

Возможно,так: $\frac{\sum\limits_{i=1}^n a^{n-i+1}b^i}{\sum\limits_{i=0}^n a^{n-i}b^i }$
P.s. график $y=x$ и $y=\frac{ab}{a+b-x}$ строил и, естественно, точки пересечения - $a$ и $b$

[Null]

Пусть $0<a<b$
Поймите по графику что ваша последовательность убывает и заключена между $a$ и $b$

-- Пн дек 16, 2013 16:29:42 --

Хотя в общем случае метод provincialka проще.

[Enot2]

Формула $n$-го элемента действительно такая, доказал по индукции... Остался предел. Я построил график, но правда не понимаю, почему моя последовательность должна лежать от $a$ до $b$.. Смотря на общую формулу тоже сказать трудно. В знаменателе, в отличие от числителя, есть слагаемое $a^n$ , а в числителе степени $a$ на одну больше. Возможно, стремится к меньшему из $a$ и $b$?