Треугольник на целочисленной решётке

[Kitonum]

Известно, что координаты всех вершин треугольника на евклидовой плоскости и его периметр целые числа. Верно ли и почему, что длины всех сторон также целые? Спасибо.

[nnosipov]

Да, это верно: если $a$, $b$, $c$ --- натуральные числа и $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ --- целое (или даже рациональное) число, то $a$, $b$, $c$ суть точные квадраты.

[Kitonum]

А доказательство сложное?

[nnosipov]

Да нет, вполне элементарное --- убираете радикалы возведением в квадрат.