Диалог

[luitzen]

Вспомнил, читая следующую тему. Прошу прощения за возможный «боян» или оффтопик.

Некто загадал два натуральных числа $m$ и $n$ такие, что $1 < m < n < 100$.
Некоему S он сообщил их сумму, а некоему P — их произведение.
Между S и P состоялся следующий диалог.

P. Я не знаю, что это за числа.
S. Знаю, что ты не знаешь… Я и сам не знаю.
P. Теперь я знаю, что это за числа.
S. Спасибо. Теперь и я знаю.

Вопрос: каковы были эти числа?

Использовать компьютер нежелательно

[Руст]

Ответ не однозначен.
С первого ответа следует, что произведение Р не является произведением двух простых.
Со второго получается, что сумма нечётная и S-2 не простое.
С третьего ответа следует, что числа были $2^k,p$, где p нечётное простое, k>=2.
C четвёртого $S-2^k$ простое только при одном k>1 и при k=1 не простое. Минимально возможное простое есть 7 и решение (64,7). Решение с минимальной суммой (4,13). Возможно есть ещё решения, надо проверять простые до 50 (если больше 50 первый догадается уже на первом ходу).

[maxal]

Источник этой задачи и ее модификации:
http://kvant.mccme.ru/1995/02/mnogo_bit ... ichego.htm

[luitzen]

Нашёл её здесь.

[maxal]

Руст
Решение однозначно. См. хотя бы статью в Квант.

[Алексей К.]

Руст писал(а):

Ответ не однозначен.

maxal ему в ответ писал(а):

Руст
Решение однозначно. См. хотя бы статью в Квант.

а всё потому, что

luitzen писал(а):

Некто загадал два натуральных числа $m$ и $n$ такие, что $1 < m < n < 100$,

а

Квант на самом деле писал(а):

что $ m + n < 100$.

[maxal]

Алексей К. писал(а):

а всё потому, что

luitzen писал(а):

Некто загадал два натуральных числа $m$ и $n$ такие, что $1 < m < n < 100$,

а

Квант на самом деле писал(а):

что $ m + n < 100$.

В данном случае не поэтому. Рустем указал два решения: (64,7) и (4,13), которые вполне вписываются в квантовское условие. А должно быть только одно решение (второе)...

[Руст]

На самом деле первое противоречит даже данным мною условиям, так как 64+7=67+4. К тому же я почти не использовал ограничения сверху. Её использование приводит громоздкому подбору (см. "Квант") и по сути задача становится не математической.