Сложные задачи

[Galua]

1. {a_{n}}, {b_{n}} - бесконечные в обе стороны последовательности. A _{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, B _{n}=\frac{b_{n-1}+b_{n+1}}{2}·
Для любых n и k: a_{n}b_{k}=\frac{a_{n}B_{k}+b_{k}A_{n}}{2}· Все члены обоих последовательностей по модулю меньше 1. Найдите a_{2013}b_{2013}.
2. Для положительных a,b,c, таких, что ab+bc+ac=a^4+b^4+c^4, доказать:
\sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}>\frac{3}{4}.
3.Найти все натуральные a,b и c, такие, что
a^b+b^c=c^a и (a+1)(b+1)(c+1) - четное.

[venco]

Откуда задачи?

[Toucan]

venco в сообщении #800369 писал(а):

Откуда задачи?

Присоединяюсь к вопросу и прошу участников форума не писать в тему своих соображений по решению до тех пор, пока ТС на него не ответит.

Число 2013, фигурирующее в условии первой задачи, вызывает некоторые подозрения.

[Galua]

venco в сообщении #800369 писал(а):

Откуда задачи?

Я придумал.

Кстати, забыл указать. В первой, хотя бы в одной из последовательностей есть ноль.

[arqady]

Galua в сообщении #800367 писал(а):

2. Для положительных a,b,c, таких, что ab+bc+ac=a^4+b^4+c^4, доказать:
\sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}>\frac{3}{4}.

Следующее неравенство тоже верно.
Пусть $a$, $b$ и $c$ - различные положительные числа такие, что $ab+bc+ac=a^4+b^4+c^4$. Докажите, что

$$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq16$$