2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложные задачи
Сообщение13.12.2013, 18:36 


13/11/13
11
1. {a_{n}}, {b_{n}} - бесконечные в обе стороны последовательности. A _{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, B _{n}=\frac{b_{n-1}+b_{n+1}}{2}·
Для любых n и k: a_{n}b_{k}=\frac{a_{n}B_{k}+b_{k}A_{n}}{2}· Все члены обоих последовательностей по модулю меньше 1. Найдите a_{2013}b_{2013}.
2. Для положительных a,b,c, таких, что ab+bc+ac=a^4+b^4+c^4, доказать:
\sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}>\frac{3}{4}.
3.Найти все натуральные a,b и c, такие, что
a^b+b^c=c^a и (a+1)(b+1)(c+1) - четное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложные задачи
Сообщение13.12.2013, 18:39 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
Откуда задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложные задачи
Сообщение13.12.2013, 18:44 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
venco в сообщении #800369 писал(а):
Откуда задачи?
Присоединяюсь к вопросу и прошу участников форума не писать в тему своих соображений по решению до тех пор, пока ТС на него не ответит.

Число 2013, фигурирующее в условии первой задачи, вызывает некоторые подозрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложные задачи
Сообщение14.12.2013, 10:14 


13/11/13
11
venco в сообщении #800369 писал(а):
Откуда задачи?

Я придумал.

Кстати, забыл указать. В первой, хотя бы в одной из последовательностей есть ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложные задачи
Сообщение15.12.2013, 11:15 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Galua в сообщении #800367 писал(а):
2. Для положительных a,b,c, таких, что ab+bc+ac=a^4+b^4+c^4, доказать:
\sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}>\frac{3}{4}.

Следующее неравенство тоже верно.
Пусть $a$, $b$ и $c$ - различные положительные числа такие, что $ab+bc+ac=a^4+b^4+c^4$. Докажите, что
$$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq16$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group