Корны, Бермант-Араманович о производной по направлению.

[DAP]

Общепринятое определение производной по направлению из Корнов таково:

"Производная по направлению $\frac{d\Phi }{ds}$ от скалярной функции точки $\Phi (\vec{r})$ есть скорость изменения функции по отношению к величине перемещения s точки $(\vec{r})$ вдоль выбранного направления. Если направление задано единичным вектором $\vec{u}=\cos\alpha_{x}\vec{i}+\cos\alpha_{y}\vec{j}+\cos\alpha_{z}\vec{k}$ … то производная по направлению равна

$\frac{d\Phi }{ds}=\left ( \vec{u}\cdot \nabla \right )\Phi$
… $\vec{u}=\frac{d\vec{r}}{ds}$"

Определение производной по направлению из Бермант-Араманович таково:

"Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления

$\frac{\partial u }{\partial \lambda }= \operatorname{grad} u \cdot\vec{e_{\lambda }}$.

Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е

$\frac{\partial u }{\partial \lambda }= |\operatorname{grad} u|\cos\varphi$"

а также на стр. 424 (издание 1971 года)

"Предел

$\lim \frac{u(P_{1})-u(P)}{\rho }=\lim\frac{u(x+\rho \cos\alpha , y+\rho \cos\beta ,z+\cos\gamma )-u(x,y,z)}{\rho }$

называется производной от функции $u(x,y,z)$ по направлению $\lambda$ в точке $P$."

Бермант-Араманович, стр.428:

"Т е о р е м а. Направление градиента функции $u(x,y,z)$ в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку.
...
Отсюда следует, что направляющий вектор нормали ... является градиентом функции $u(x,y,z)$ в точке $P_{0}$, что и требовалось доказать."

Из последней цитаты очевидно, что вектор $\vec r =r\vec{n_{r}}$ - это тот вектор, с направлением которого совпадает направление градиента.

Из приведенных цитат следует, что

$\frac{\partial \phi }{\partial \lambda } = \operatorname{grad} \phi \cdot \frac{d \vec{r} }{d \lambda }= \operatorname{grad} \phi \cdot\vec{n_{\lambda }}=|\operatorname{grad} \phi|\cos\varphi $

при $\vec{n_{\lambda }}=\frac{d\vec{r}}{d\lambda }$ и $\vec{r}=r\vec{n_{r}}$, где

$ {\vec{n}}_{r}=\cos\alpha\cdot \vec{i} + \cos\beta \cdot \vec{j}+\cos\gamma \cdot \vec{k}$,

соответственно

$\vec{r}=r\vec{n}_{r}=r\cos\alpha\cdot \vec{i} + r\cos\beta \cdot \vec{j}+r\cos\gamma \cdot \vec{k}$ и $\vec{n}_{\lambda }=\cos\alpha_{x}\cdot \vec{i} + \cos\alpha _{y}\cdot \vec{j}+\cos\alpha _{z}\cdot \vec{k}$.

здесь $\cos\alpha_{x}, \cos\alpha _{y}, \cos\alpha _{z}$ - направляющие косинусы орта $\vec{n}_{\lambda }$, а $\cos\alpha , \cos\beta , \cos\gamma $ -направляющие косинусы орта $\vec{n}_{r}$.

Однако?

Тема дискуссионна и достойна обсуждения, так как следствием приведенных определений производной по направлению является определение косинуса угла $ \varphi $ между векторами $ \vec{n_{r}}$ и $ \vec{n_{\lambda }}$, а именно:

$\frac{dr}{d\lambda } =\cos\varphi $.

Так как определением косинуса угла в прямоугольном треугольнике является отношение прилежащего катета к гипотенузе, то являющееся следствием определения производной по направлению вышеприведенное выражение косинуса угла $\varphi $ противоречит определению косинуса для случая обсуждаемого определения производной по направлению, ведь при проектировании вектора градиента на выбранное направление прилежащим катетом угла $\varphi $ между векторами градиента и выбранного направления является $d\lambda$, а не $dr$, который в следствии из общепринятого определения производной по направлению является ГИПОТЕНУЗОЙ в прямоугольном треугольнике проектирования вектора $\operatorname{grad} \phi $ на направление $\lambda$.

Спецы по векторному анализу на форуме имеются?

[mihailm]

(Оффтоп)

DAP в сообщении #800200 писал(а):

...Однако?

Некоторое время пытался произнести про себя. Произнес, но что можно ответить на вопросительное однако не понял)

Раз на форуме эта тема ни разу не появлялась, значит большинство готовы терпеть такое гнусное определение и продолжают работать с ним.
Что не нравится то?

[DAP]

Отвечаю на вопрос: Мне определение очень нравится, о чем и речь.

Теперь, согласно общепринятым правилам хорошего тона в обществе воспитанных людей, ответьте, пожалуйста, на вопрос: по какой причине оно, по-Вашему (и, видимо, "большинства форума"), это определение производной по направлению, "такое гнусное"?

[Mopnex]

mihailm, у человека чугуний, так что с юмором тут надо быть поаккуратнее.

[arseniiv]

DAP, коль вы претендуете на дискуссионность*, наберите формулы не тяп-ляп, а нормально.


* Совершенно не вижу, что тут можно обсуждать. Определение и определение. Вы бы ещё определение квадрата привели.

[DAP]

$\frac{\partial \phi }{\partial \lambda } = \operatorname{grad} \phi \cdot \frac{d \vec{r} }{d \lambda }= \operatorname{grad} \phi \cdot\vec{n_{\lambda }}=|\operatorname{grad} \phi|\cos\varphi $ \Rightarrow $

$ \operatorname{grad} \phi \cdot \vec{n_{r}}dr =d\lambda |\operatorname{grad} \phi |\cos\varphi \Rightarrow $

$\frac{dr}{d\lambda } =\cos\varphi $

Дальше имеет смысл продолжать, когда уважаемые участники дискусии обоснуют математическую безупречность последнего определения косинуса угла $\varphi $ между векторами $ \vec{n_{r}}$ и $\vec{n_{\lambda }}$, вытекающего из обсуждаемого общепринятого определения производной по направлению.

Итак...

-- 13.12.2013, 14:32 --

Mopnex в сообщении #800280 писал(а):

mihailm, у человека чугуний, так что с юмором тут надо быть поаккуратнее.

Вы поаккуратнее с вытекающим из общепринятого определения производной по направлению определением косинуса угла $ \varphi $ между векторами $ \vec{n_{r}}$ и $ \vec{n_{\lambda }}$, так как без его БЕЗУПРЕЧНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО обоснования чугуний Ваш Вас не покинет, увы...

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$. В частности, вот здесь topic183.html показано, как правильно набирать $\operatorname{grad}$ и тригонометрические функции.
Обратите также внимание на оформление отношения с помощью \frаc или \dfrаc.

2. Точно процитируйте определение производной по направлению, приведенное в источниках, указанных Вами в названии темы. Намекаю: в Корнах определение выглядит как "Производная по направлению ... есть скорость ..."

3. Четко сформулируйте, что Вас в этом определении не устраивает.
Это же Вы недовольны общепринятым определением, поэтому Вы должны доказать его некорректность, а не требовать от участников форума обоснования его безупречности.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[DAP]

Вопрос к участникам дискуссии и читателям форума:

Скажите пожалуйста, как Вы думаете, направлен ли градиент в направлении вектора нормали к поверхности уровня, когда по определению

"Т е о р е м а. Направление градиента функции $u(x,y,z)$ в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля
...
Отсюда следует, что направляющий вектор нормали ... является градиентом функции $u(x,y,z)$ в точке $P_{0}$, что и требовалось доказать."

[А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович, Краткий курс математического анализа, "Наука", Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1971, стр. 428]

его направление совпадает с направлением указанного вектора?

Вопрос не праздный, а принципиальный, так как периодически можно слышать утверждения о том, что в приведенной цитате нет слов о градиенте в направлении вектора нормали.

[shwedka]

DAP в сообщении #801427 писал(а):

направлен ли градиент в направлении вектора нормали к поверхности уровня, когда по определению

"Т е о р е м а. Направление

ТС не в состоянии отличить определение от теоремы.

[DAP]

shwedka в сообщении #801476 писал(а):

DAP в сообщении #801427 писал(а):

направлен ли градиент в направлении вектора нормали к поверхности уровня, когда по определению

"Т е о р е м а. Направление

ТС не в состоянии отличить определение от теоремы.

"Т е о р е м а. Направление градиента функции $u(x,y,z)$ в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля
...
что и требовалось доказать."

Доказанная теорема о градиенте в направлении вектора нормали является доказанным определением его направления.

Или для Вас доказанная теорема Пифагора не является доказанным определением соотношения сторон в прямоугольном треугольнике? Однако...

Но аксиому-то от теоремы Вы, надеюсь, отличить в состоянии?

[Someone]

Словосочетание "доказанное определение" является бессмысленным. Определения не доказывают. Доказывают теоремы.

[shwedka]

DAP в сообщении #801508 писал(а):

доказанная теорема Пифагора не является доказанным определением соотношения сторон

Ничто и никогда не явлется доказанным определением.

Воистину:
косноязычие-явный признак скудоумия!

[DAP]

Someone в сообщении #801560 писал(а):

Словосочетание "доказанное определение" является бессмысленным. Определения не доказывают. Доказывают теоремы.

Не доказывают постулаты, также являющиеся определениями. Или аксиомы - определения, принимаемые без доказательств.

Например, постулат ТФКП $i^{2}=-1$ - является ОПРЕДЕЛЕНИЕМ так называемой мнимой единицы, принимаемым без доказательства.

Теорема Пифагора ОПРЕДЕЛЯЕТ соотношение сторон прямоугольного треугольника, несмотря на то, что это определение еще и доказывается. Или Вы станете отрицать тот очевидный факт, что ОПРЕДЕЛЕНИЕ соотношения сторон прямоугольного треугольника $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ не перестает быть ОПРЕДЕЛЕНИЕМ даже несмотря на то, что оно доказывается?

-- 15.12.2013, 17:32 --

to Moder, or admin: пожалуйста, процитируйте пункт Правил форума, в соответствии с которым "заслуженный участник" имеет право безнаказанно оскорблять других участников форума.

Заранее благодарю за помощь.

[shwedka]

Цитата:

ОПРЕДЕЛЕНИЕМ так называемой мнимой единицы, принимаемым без доказательства.

Никто и никогда не доказывает определений.

DAP в сообщении #801584 писал(а):

станете отрицать тот очевидный факт, что ОПРЕДЕЛЕНИЕ соотношения сторон прямоугольного треугольника $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ не перестает быть ОПРЕДЕЛЕНИЕМ даже несмотря на то, что оно доказывается?

Именно это станем, отрицать. Это не определение
Косноязычие-явный признак скудоумия.