Плотность делящихся на n, не зависит от его разложения на простые и есть

. Оценки ошибки так же не зависят от его разложения.
Так действительно проще.
Натуральные числа, делящиеся без остатка на натуральное k, принадлежат последовательности

. Плотность последовательности

на ограниченном интервале натурального ряда [1,x], где х - большое натуральное число

достигает максимума при

(N- натуральное число):

(1) и равна значению асимптотической плотности данной последовательности.
При значение

плотность последовательности

на ограниченном интервале натурального ряда [1,x], где х - большое натуральное число

достигает минимума:
![$P(f,1,kN+(k-1))=\pi(f,1,kN+(k-1))/kN+(k-1)=\frac {1} {\frac {k-1} {[\frac {x} {k}]}}$ $P(f,1,kN+(k-1))=\pi(f,1,kN+(k-1))/kN+(k-1)=\frac {1} {\frac {k-1} {[\frac {x} {k}]}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/6/936447cc1f49ce75c371cf8c7c1ab62382.png)
, (2) а в следующей точке

плотность последовательности достигает своего максимума - 1/k.
Таким образом, период функции плотности последовательности

-

равен k (3) и колебания между максимумом и минимумом:
![$\Delta=\frac {1} {k}-\frac {1} {k+\frac {k-1} {[x/k]}}<1/kN=\frac {1} {k[x/k]}$ $\Delta=\frac {1} {k}-\frac {1} {k+\frac {k-1} {[x/k]}}<1/kN=\frac {1} {k[x/k]}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/0/980d6c577947b2cf0acdca9777fa760d82.png)
.(4)
При больших х

значение

(5) мало.
В случае

, где

- различные простые числа, то плотность последовательности

на интервале натурального ряда [1,x], где х - большое натуральное число

на основании (1):

, (6) где

- соответственно плотность последовательности

с максимальной ошибкой на основании (5) равной

. (7)
Период функции плотности последовательности

на интервале натурального ряда [1,x], где х - большое натуральное число

-

равен

.(8)
При большом х значение максимальной ошибки

мало и с высокой степенью точности выполняется равенство:

.(9)
Учитывая, что последовательности

являются целочисленными строго возрастающими на интервале натурального ряда [1,x], где х - большое натуральное число

, поэтому плотности последовательностей

на данном интервале являются значениями вероятностной меры (или просто вероятностью) соответственно событий, что натуральные числа на интервале [1,x] делятся на простые числа

без остатка.
Следовательно, формула (9) означает независимость событий

, что натуральные числа на интервале натурального ряда [1,x], где х - большое натуральное число

соответственно делятся на

без остатка:

.(10)
На основании независимости событий (10) независимыми являются соответственно противоположные события

, что натуральные числа на интервале [1,x] не делятся на простые числа

без остатка:

.(11)
Вероятности противоположных событий соответственно равны:

, поэтому на основании (11):

.(12)
Формула (12) справедлива при больших х

.
Максимальная ошибка в определении вероятности

:

, (13)
где
![$\Delta_i<\frac {1} {p_i[x/p_i]}$ $\Delta_i<\frac {1} {p_i[x/p_i]}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/c/8fcf6c668cb14237823cdfa78f5e17f482.png)
.(14)
При больших х

справедлива оценка:

, (15)
где

.(16)
Продолжение следует.