Некоторые св-ва последо-стей на огран.интерв.натурально ряда

[vicvolf]

В предыдущих темах "Вероятность натурального числа быть простым", "Противоречия гипотез о простых числах" в обсуждениях с заслуженными участниками Руст и shwedka было показано, что формально на данный момент существуют только 2 случая:

shwedka в сообщении #796182 писал(а):

vicvolf в сообщении #796133 писал(а):

Уточню.
Из рассмотренных на данный момент имеются только два случая:
1. Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности (в частном случае последовательности простых чисел) на конечном интервале натурального ряда, которая является конечно-аддитивной вероятностной мерой.
2. Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности (в частном случае последовательности простых чисел) на бесконечном интервале натурального ряда (асимптотическая плотность), которая является конечно-аддитивной мерой, но не вероятностной, так как для нее не выполняется счетная аддитивность.

Замечательно, что Вы это зафиксировали. И не пытайтесь выдать другие 'модели' за эти.

В данной теме я применю указанные "модели" к конкретным последовательностям.
Асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности f(n) определяется, как:
$P(f,1,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,1,x)} {x}}$.
Указанная асимптотическая плотность обладает интересным свойством по отношению к последовательностям $f_1(n)=p_1\cdot n$, $f_2(n)=p_2\cdot n$ и $f_{12}(n)=p_1\cdot p_2\cdot n$, где $p_1,p_2$ - простые числа, а n -натуральное число:
$P(f_1,1,\infty)=1/p_1$, $P(f_2,1,\infty)=1/p_2$, $P(f_{12},1,\infty)=1/p_1p_2=1/p_1 \cdot 1/p_2=P(f_1,1,\infty) \cdot P(f_1,1,\infty)$.
Таким образом, мы видим, что по отношению к асимптотической плотности "события" деления на различные простые числа являются независимыми.
Однако, асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности, как ранее говорилось, не является вероятностной мерой из-за не выполнения свойства счетной аддитивности, поэтому из указанной независимости не следует независимость противоположных событий, (отсутствия делимости на различные простые числа) которое меня больше интересует.
По-другому обстоит дело с плотностью целочисленной строго возрастающей последовательности на ограниченном интервале натурального ряда, которая, как говорилось выше, является конечно-аддитивной вероятностной мерой.
Хотя тут возникают другие проблемы:
1. Из-за конечности интервала натурального ряда [1,x] плотность последовательности $f(n)=pn$ (р-простое, а n- натуральное число) $P(f,1,n)$ отличаются от $1/p$, поэтому при допущении $P(f,1,n)=1/p$ возникает ошибка. Проблемой является ее оценка.
2. Необходимо показать, что в определенных случаях эта ошибка мала настолько, что можно предположить независимость событий деления натурального числа из конечного интервала [1,x] на разные простые числа.
3. Оценить ошибку предположения независимости противоположных событий (отсутствия делимости натурального числа из конечного интервала [1,x] на разные простые числа).
4. С помощью указанной оценки ошибки найти суммарную ошибку в определении плотности последовательности простых чисел на конечном интервале натурального ряда [1,x].
5. Проанализировать полученный результат и сопоставить его с уже известными.

Хотелось бы обсудить результаты работы и получить замечания или предложения по улучшению ее качества.

А теперь заканчиваю введение и начнем. Благодарен модератору, который настоял на этом введении.

Обозначим $f_1(n)$ последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], делящихся на простое число $p_1$. Данная последовательность имеет вид $f_1(n)=p_1 \cdot n$, где n - натуральное число. Асимптотическая плотность данной последовательности равна $1/p_1$.
Рассмотрим плотность данной последовательности на ограниченном интервале натурального ряда [1,x] - $P(f_1,1,x)=\pi(f,1,x)/x$ (1).
В случае, если $x=p_1 \cdot N$, где N - натуральное число, то на основании (1) - $P(f_1,1,x)=\pi(f,1,x)/x=N/p_1N=1/p_1$ (2), т.е. равна асимптотической плотности.
В случае, если $p_1(N-1)<x<p_1N$, то $P(f_1,1,x)=1/p_1$ с ошибкой.
Максимальное значение абсолютной ошибки равно:
$\Delta_1=1/p_1-N/(p_1N+(p_1-1)) =1/p_1(1-1/(1+p_1-1/p_1N)=1/p_1(\frac {p_1-1/p_1N} {1+p_1_1/p_1N}<1/p_1N=1/p_1[x/p_1].(3)$
Относительная ошибка равна: $\Delta_{1o}<1/[x/p_1]$.(4)
Следовательно, при большом х абсолютная ошибка $\Delta_1 \approx 1/x$.(5), а относительная ошибка $\Delta_{1o}<p_1/x$.(6)Например, при $x=10^8$ и $p_1=5$ значение $\Delta_1 \approx 10^{-8}$, в $\Delta_{1o}<5\cdot 10^{-8}$.
Таким образом, при большом х величины указанных ошибок малы.

[migmit]

Сд.пр.ком.в.уд.в.н.м.од.ин.хол.

А в чём проблема-то? Или вы просто похвастаться достижениями решили?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствует предмет обсуждения

vicvolf
Сформулируйте предмет обсуждения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Вернул.
Просьба не дублировать темы с очень похожими вопросами, иначе я их буду просто мержевать или закрывать.

[Руст]

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

В предыдущих темах "Вероятность натурального числа быть простым", "Противоречия гипотез о простых числах" в обсуждениях с заслуженными участниками Руст и shwedka было показано, что формально на данный момент существуют только 2 случая:

shwedka в сообщении #796182 писал(а):

vicvolf в сообщении #796133 писал(а):

Уточню.
Из рассмотренных на данный момент имеются только два случая:
1. Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности (в частном случае последовательности простых чисел) на конечном интервале натурального ряда, которая является конечно-аддитивной вероятностной мерой.
2. Плотность целочисленной строго возрастающей последовательности (в частном случае последовательности простых чисел) на бесконечном интервале натурального ряда (асимптотическая плотность), которая является конечно-аддитивной мерой, но не вероятностной, так как для нее не выполняется счетная аддитивность.

Замечательно, что Вы это зафиксировали. И не пытайтесь выдать другие 'модели' за эти.

Приветствую, что наконец то отходите от бреда - вероятностей типа вероятность натурального числа быть простым.
Что касается плотностей, то они определяются асимптотический. Для них бессмысленно даже конечная аддитивность в традиционном смысле (как указали здесь). От того, что мы разделяем на одинаковые по количеству чисел подмножества (четные и нечетные) числа, вероятность обнаружения простого числа (если такая вероятность имеется) должна быть одинаковой (в силу аддитивности). Для плотностей некое подобие аддитивности воспринимается только для объединения соприкасающихся интервалов.

Лучше вводит функцию ошибку $\pi(f,a,b)=\int_a^b p(f)dx +R(a,b), |R(a,b)|<<b-a$
$\pi(f,a,b)+\pi(f,b,c)=\pi(f,a,c)=\int_a^c p(f)dx+R(a,c), R(a,c)=R(a,b)+R(b,c)<<c-a.$ (аддитивность для плотностей).
Точность указанная для $R(a,b)$ может выполняться только для очень больших интервалов.
Когда вы рассматриваете числа кратные р, то для малых интервалов плотность как отношение $\frac{\pi(f,1,x)}{x-1}=0,x<p$ потом колебания с максимумом 1/p, только при достаточно больших х получите 1/p с большой точностью.
множитель $e^{\gamma}$ для простых при выражении, через последовательное исключение делимостей появляется ввиду того, что $\prod_{p\le \sqrt x}(1-\frac 1p)$ имеет очень большой период и не может оцениваться как плотность не делящихся на эти простые в интервале от 1 до х.

[vicvolf]

Руст в сообщении #797037 писал(а):

Приветствую, что наконец то отходите от бреда - вероятностей типа вероятность натурального числа быть простым.

Рад, что Вы участвуете в обсуждении темы.

Цитата:

Что касается плотностей, то они определяются асимптотический. Для них бессмысленно даже конечная аддитивность в традиционном смысле (как указали здесь). От того, что мы разделяем на одинаковые по количеству чисел подмножества (четные и нечетные) числа, вероятность обнаружения простого числа (если такая вероятность имеется) должна быть одинаковой (в силу аддитивности).

Я рассматриваю плотность целочисленных строго возрастающих последовательности в натуральном ряде, а не в других последовательностях (четных и нечетных чисел) и соответственно конечная аддитивность рассматривается, как сумма указанных последовательностей в натуральном ряде.

Цитата:

Когда вы рассматриваете числа кратные р, то для малых интервалов плотность как отношение $\frac{\pi(f,1,x)}{x-1}=0,x<p$

Я рассматриваю только $x>p$

Цитата:

потом колебания с максимумом 1/p, только при достаточно больших х получите 1/p с большой точностью.

Да, именно так.

Цитата:

множитель $e^{\gamma}$ для простых при выражении, через последовательное исключение делимостей появляется ввиду того, что $\prod_{p\le \sqrt x}(1-\frac 1p)$ имеет очень большой период и не может оцениваться как плотность не делящихся на эти простые в интервале от 1 до х.

Интервал тот же от 1 до х, а вот количество членов в произведении и р достаточно большие. Здесь может накопиться ошибка на этом конечном интервале, но к этому вопросу мы еще вернемся.

[Руст]

vicvolf в сообщении #797078 писал(а):

Руст в сообщении #797037 писал(а):

Я рассматриваю плотность целочисленных строго возрастающих последовательности в натуральном ряде, а не в других последовательностях (четных и нечетных чисел) и соответственно конечная аддитивность рассматривается, как сумма указанных последовательностей в натуральном ряде.

В основном речь идет об одной последовательности - простых чисел. При оценке числа членов этой последовательности мы не можем произвольно разбить интервал на подмножества (что предполагается для вероятностей, которые аддитивны на конечном множестве при разбиении на произвольные подмножества) для подсчета их как сумму в разных частях, а только на соприкасающиеся интервалы. Это основное отличие (кроме асимптотический определенности).

Цитата:

Я рассматриваю только $x>p$

Не важно, пусть х=2р-1, оценка плотности отличается почти в два раза.

Цитата:

Интервал тот же от 1 до х, а вот количество членов в произведении и р достаточно большие. Здесь может накопиться ошибка на этом конечном интервале, но к этому вопросу мы еще вернемся.

[/quote]
Период последовательности после исключения есть $\prod_{p<\sqrt x} p\approx e^{\sqrt x (1+o(1))}$ гораздо больше х. Именно поэтому не совпадение как и в случае, когда в предыдущем примере оцениваем при х=0.5р на полупериоде.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

"события" деления

Занимаясь серьезно математикой, нужно, в частности оооочень следить за терминологией.
слова 'событие деление' ни коим образом смысла не имеют. Замените на что-то осмысленное.

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

асимптотическая плотность целочисленной строго возрастающей последовательности f(n) определяется, как:
$P(f,1,\infty)=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,1,x)} {x}}$.

Это все при условии, что предел существует.

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

поэтому из указанной независимости не следует независимость противоположных событий, (отсутствия делимости на различные простые числа) которое меня больше интересует.

Это Вы зря прибедняетесь. То свойство, что Вам нужно, не требует счетной аддитивности. Хватит и конечной.

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

что можно предположить независимость событий

А тут уж нужно быть конкретным.
'можно предположить' - это не те слова. Правильные слова - можно доказать.
Если Вы не можете доказать, то лучше промолчать. Если речь идет о каком-то суррогате независимости, то дайте точные определения и, опять же, доказывайте.

Цитата:

1,2,3,4,5

Здесь мое личное мнение, как частного лица.. Все это банально и на математику не тянет.

Цитата:

Обозначим $f_1(n)$ последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], делящихся на простое число $p_1$. Данная последовательность имеет вид $f_1(n)=p_1 \cdot n$, где n - натуральное число. Асимптотическая плотность данной последовательности равна $1/p_1$.

Неверно. Поскольку $f_1(n)$ последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], это-конечная последовательность, и ее асимптотическая плотность равна нулю, как и у любой конечной последовательности.

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

(2), т.е. равна асимптотической плотности.

Возражаю. На конечном интервале никакой асимптотической плотности нет.
Понятие асимптотической плотности не определено. Определено понятие асимптотической плотности бесконечной последовательности.

Итог:
Следите за языком. При небрежении точностью выражений - прилюдная порка неизбежна!
По крайей мере, коллега Руст и я позаботимся.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #797205 писал(а):

Следите за языком. При небрежении точностью выражений - прилюдная порка неизбежна!
По крайей мере, коллега Руст и я позаботимся.

Спасибо!

shwedka в сообщении #797205 писал(а):

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

поэтому из указанной независимости не следует независимость противоположных событий, (отсутствия делимости на различные простые числа) которое меня больше интересует.

Это Вы зря прибедняетесь. То свойство, что Вам нужно, не требует счетной аддитивности. Хватит и конечной.

При рассмотрении асимптотической плотности последовательности слово событие вообще надо ставить в скобках, так как не о каких вероятностных событиях здесь говорить нельзя, тем более о независимости событий.

shwedka в сообщении #797205 писал(а):

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

что можно предположить независимость событий

А тут уж нужно быть конкретным.
'можно предположить' - это не те слова. Правильные слова - можно доказать.

Согласен.

shwedka в сообщении #797205 писал(а):

vicvolf в сообщении #796303 писал(а):

(2), т.е. равна асимптотической плотности.

Возражаю. На конечном интервале никакой асимптотической плотности нет.

Имелось в виду - значение асимптотической плотности.

[vicvolf]

Руст в сообщении #797184 писал(а):

Не важно, пусть х=2р-1, оценка плотности отличается почти в два раза.

Уточню я рассматриваю плотность последовательности $f(n)=pn$ на интервале натурального ряда [1,x], когда х большое натуральное число ($x \gg p$).
При значении $x=pN$ (N - натуральное число) плотность последовательности достигает максимума: $P(f,1,pN)=1/p$. При значении $x=pN+(p-1)$ плотность последовательности достигает минимума: $P(f,1,pN+(p-1))=\frac {1} {p+\frac {p-1} {[x/p]}}$, а в следующей точке $x=pN+p$ снова достигается максимум -1/p.
Таким образом, период равен - р и колебание между максимумом и минимумом $\Delta < \frac {1} {p[x/p]}$.

[Руст]

Руст в сообщении #797184 писал(а):

vicvolf в сообщении #797078 писал(а):

Руст в сообщении #797037 писал(а):

Я рассматриваю только $x>p$

Не важно, пусть х=2р-1, оценка плотности отличается почти в два раза.

[vicvolf]

Извините Руст, поэтому я написал, что уточняю.

[vicvolf]

Обозначим $f_2(n)$ последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], делящихся на простое число $p_2$. Данная последовательность имеет вид $f_2(n)=p_2 \cdot n$, где n - натуральное число.
Плотность $f_2(n)$ на ограниченном интервале натурального ряда [1,x] - $P(f_2,1,x)=1/p_2$ (7)с максимальной значением абсолютной ошибки (при $x \gg p_2$) на основании (3): $\Delta_2<1/p_1[x/p_1]$.(8)
Относительная ошибка (при $x \gg p_2$) на основании (4) не превосходит: $\Delta_{2o}<1/[x/p_2]$.(9)
При большом х величина ошибки на основании (5) $\Delta_2 \approx 1/x$ - мала.
Теперь рассмотрим произведение плотностей последовательностей $f_1(n),f_2(n)$ на интервале [1,x], где $x \gg p_1\cdot p_2$.
На основании (2.1) и (7) получаем:
$P(f_1,1,x) \cdot P(f_2,1,x)=1/p_1 \cdot 1/p_2=1/p_1p_2=P(f_1\cdot f_2,1,x)$,(10)
с абсолютной ошибкой на основании (3) и (8):
$\Delta_{12}=1/p_1p_2(\frac {1} {[\frac {x} {p_1}]}+\frac {1} {[\frac {x} {p_2}]} +\frac {1} { [\frac {x} {p_1}] [\frac {x} {p_2}] }) \approx 1/x(1/p_1+1/p_2)<1/x$.(11)
Следовательно, функция плотности $P(f_1\cdot f_2,1,x)$ имеет период $p_1\cdot p_2$ и при $x \gg p_1\cdot p_2$ имеет максимальное значение $1/p_1p_2$ и минимальное $1/p_1p_2-\Delta_{12}$. При большом х: $(x \gg p_1\cdot p_2)$ значение $\Delta_{12}$ - мало. Например, при $x=10^8$ значение $\Delta_{12}<10^{-8}$.
Поэтому учитывая, что плотности целочисленных строго возрастающих последовательностей, к которым относятся последовательности $f_1(n),f_2(n)$ на ограниченном интервале натурального ряда [1,x] (при большом х: $x \gg p_1\cdot p_2$) являются вероятностной мерой, то на основании (10) события, что натуральные числа из указанного интервала делятся нацело на простые числа $p_1,p_2$ являются независимыми с высокой степенью точности (псевдонезависимыми).
Теперь докажем, что на основании псевдонезависимости событий, что натуральные числа из интервала [1,x] делятся нацело на простые числа $p_1,p_2$ противоположные события, что натуральные числа из интервала [1,x] (при большом х: $x \gg p_1\cdot p_2$) не делятся нацело на простые числа $p_1,p_2$ также являются псевдонезависимыми, т.е. независимыми с высокой степенью точности.

[Руст]

vicvolf в сообщении #797900 писал(а):

Обозначим $f_2(n)$ последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], делящихся на простое число $p_2$. Данная последовательность имеет вид $f_2(n)=p_2 \cdot n$, где n - натуральное число.
Плотность $f_2(n)$ на ограниченном интервале натурального ряда [1,x] - $P(f_2,1,x)=1/p_2$ (7)с максимальной значением абсолютной ошибки (при $x \gg p_2$)

Ошибка должна убывать с ростом х, а не наоборот.

Цитата:

$\Delta_{12}=1/p_1p_2(\frac {1} {[\frac {x} {p_1}]}+\frac {1} {[\frac {x} {p_2}]} +\frac {1} { [\frac {x} {p_1}] [\frac {x} {p_2}] }) \approx 1/x(1/p_1+1/p_2)<1/x$.(11)

Плотность делящихся на n, не зависит от его разложения на простые и есть $\frac{1}{n}$. Оценки ошибки так же не зависят от его разложения.
Тут нет никакой математики, какой смысл писать о них?

[vicvolf]

Руст в сообщении #797914 писал(а):

vicvolf в сообщении #797900 писал(а):

Обозначим $f_2(n)$ последовательность натуральных чисел на интервале [1,x], делящихся на простое число $p_2$. Данная последовательность имеет вид $f_2(n)=p_2 \cdot n$, где n - натуральное число.
Плотность $f_2(n)$ на ограниченном интервале натурального ряда [1,x] - $P(f_2,1,x)=1/p_2$ (7)с максимальной значением абсолютной ошибки (при $x \gg p_2$)

Ошибка должна убывать с ростом х, а не наоборот.

Так она и убывает.

Цитата:

При большом х величина ошибки на основании (5) $\Delta_2 \approx 1/x$ - мала.