Уравнение дизъюнкции уравнений

[hazzo]

Пусть $a=(a_1,a_2,...,a_n)\in \mathbb N_0, b=(b_1,b_2,...,b_n)\in \mathbb Z$. Можно ли привести следующее объединение уравнений
$(\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=\sum_{i=1}^{n}{b_ix_i})\vee(\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=-\sum_{i=1}^{n}{b_ix_i})$
к виду
$(\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=\sum_{i=1}^{n}{c_ix_i})$?
Если да, то чему равно $c=(c_1,c_2,...,c_n)$?

[hazzo]

hazzo в сообщении #799487 писал(а):

Пусть $a=(a_1,a_2,...,a_n)\in \mathbb N_0, b=(b_1,b_2,...,b_n)\in \mathbb Z$.

$a=(a_1,a_2,...,a_n)\in \mathbb N_0^n, b=(b_1,b_2,...,b_n)\in \mathbb Z^n$

[provincialka]

У вас написано, что коэффициенты целые, но не написано, каковы решения. Будем считать, что они вещественные.

Я так понимаю, что первая конструкция есть совокупность уравнений (не система). Значит, она задает совокупность двух гиперплоскостей в $\mathbb R^n$. Второе же уравнение - одна гиперплоскость, значит, одно к другому не сводится.

Если же у вас и решения целочисленные, то два образа могут совпадать, если на одной из гиперплоскостей нет целочисленных точек. Кроме тех, которые удовлетворяют уравнению $\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=0$

[hazzo]

provincialka в сообщении #799531 писал(а):

У вас написано, что коэффициенты целые, но не написано, каковы решения. Будем считать, что они вещественные.

Я так понимаю, что первая конструкция есть совокупность уравнений (не система). Значит, она задает совокупность двух гиперплоскостей в $\mathbb R^n$. Второе же уравнение - одна гиперплоскость, значит, одно к другому не сводится.

Если же у вас и решения целочисленные, то два образа могут совпадать, если на одной из гиперплоскостей нет целочисленных точек. Кроме тех, которые удовлетворяют уравнению $\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=0$

А если $x=(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb \{0,1\}^n$?

[provincialka]

Тут все зависит от конкретных коэффициентов. Гиперплоскость может проходить через несколько вершин гиперкуба (и, конечно, через начало координат). Может оказаться, что вторая гиперплоскость не проходит через вершины. Тогда она не дает дополнительных решений.

Можно посмотреть, что связывает два уравнения. Они имеют вид $\sum(a_i-b_i)x_i=0$ и $\sum(a_i+b_i)x_i=0$. То есть $\sum k_ix_i=0$ и $\sum m_ix_i=0$. Здесь коэффициенты $k_i, m_i$ при одном и том же $i$ имеют одинаковую четность. И, кроме того, $k_i+m_i =2a_i$, т.е. положительны.

В общем, тут надо думать (и желательно - вам).

[hazzo]

provincialka в сообщении #799718 писал(а):

В общем, тут надо думать (и желательно - вам).

Согласен. Просто, надеялся вдруг у кого-нибудь есть идея.
Спасибо большое.