Вы правы, что в основе лежит свойство дроби не изменять своего значения при одновременном умножении или делении (то есть домножении и сокращении) и числителя, и знаменателя на неравное нулю число или выражение. При этом надо определиться со структурой дробных, в том числе, и многоэтажных, выражений. Для обыкновенных дробей числителем будет выражение, целиком записанное сверху дробной черты, а знаменателем — ниже. Сокращать можно только одинаковые сомножители и в числителе, и в знаменателе. Для проведения преобразования дроби надо её компоненты разложить на множители.
Если формализовать мой поток сознания, то можно кратко записать эти правила. Их можно посмотреть в учебнике алгебры для восьмого класса.
Пример.
Мы не можем сократить одинаковые четвёрки, так как они не являются сомножителями, а восьмёрки можем.
Пока ничего нельзя сократить. Слагаемые не сокращаем, только множители. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Обычно при преобразовании дробей молчаливо полагают, что выражения, на которые домножают или сокращают, не равны нулю. При решении уравнений и неравенств за этим надо особо следить.
И, бывает, что ученик решает взяться за ум в восьмом классе, а забытый, вернее, забитый, седьмой считает как бы уже и не нужным.