Предел

[maisvendoo]

Limit79 в сообщении #725381 писал(а):

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Есть еще мысль: подставить $\cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}$, но не знаю, какой знак брать.

И еще одна мысль: $\cos(x) \sim 1-\frac{x^2}{2} $ и $\sin^2(x) \sim x^2$ при $x \to 0$. Первая эквивалентность неверна.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

Насколько понимаю, неопределенность типа $1^{\infty}$, по определению логарифма сводим её к неопределенности типа $\cfrac{0}{0}$

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}} = e^{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\sin^2(x)}}$

Далее по правилу Лопиталя

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\sin^2(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \cfrac{-\cfrac{\sin x}{\cos x}}{2\sin x \cos x} = -\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{1}{2\cos^2 x} = -\cfrac{1}{2}$

и искомый предел равен

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}} = \cfrac{1}{\sqrt{e}}$

[provincialka]

maisvendoo, почитайте правила. Здесь не принято выкладывать полные решения учебных задач. Тем более, что уже было предложено много методов.

Кроме того, следите за датами. Тема обсуждалась в мае. Она была необоснованно поднята участником levaly

[maisvendoo]

Прошу прощения, увлекся...

[provincialka]

Ничего. Это, собственно, levaly виноват, поднимает старые темы.

[Toucan]

levaly, замечание за некропостинг, да еще и не по делу.

maisvendoo, замечание за размещение полного решения простой учебной задачи.

[Bonaqua]

(Оффтоп)

почему, собственно, не удалять в таком случае старые темы?

[Lia]

PUMA
Замечание за неоправданный некропостинг.

Сообщение отделено в новую тему Сходимость несобственного интеграла

[Lia]

Asta601
Замечание за неоправданный некропостинг.

Сообщение отделено в Карантин.

[ludwig51]

Limit79 в сообщении #725381 писал(а):

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

Эта тема старая.
Я знаю, что про правилам старые темы поднимать нельзя.
И нельзя приводить готовые решения.
Я решение не привожу.
Но в этой замечательной задаче имеется рациональное решение.
Без использования правила Лопиталя и разложения в ряд Тейлора.
Надо было использовать первую попытку автора.
заменой $\cos(x)=t+1$
Но он её не доработал.
Если модераторы не против поиска самого простейшего решения с данной подстановкой, то можно завершить эту тему.
В учебниках и задачниках с решениями подобные решения есть, но не совсем рациональные.
Кто сможет найти это самое простое решение.
Автору задачи оно разумеется уже не требуется.
И поэтому мы ему не делаем халяву.

[Lia]

ludwig51
В этой задаче много рациональных решений, и почти все из них успели тут упомянуть. Приводить полные решения типовых примеров из задачника по математическому анализу не является целью ресурса, здесь не решебник в процессе написания.

На мой взгляд, того, что есть, более чем достаточно.