2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:38 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #725381 писал(а):
$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Есть еще мысль: подставить $\cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}$, но не знаю, какой знак брать.

И еще одна мысль: $\cos(x) \sim 1-\frac{x^2}{2} $ и $\sin^2(x) \sim x^2$ при $x \to 0$. Первая эквивалентность неверна.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

Насколько понимаю, неопределенность типа $1^{\infty}$, по определению логарифма сводим её к неопределенности типа $\cfrac{0}{0}$

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}} = e^{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\sin^2(x)}}$

Далее по правилу Лопиталя

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{\sin^2(x)} = \lim\limits_{x \to 0} \cfrac{-\cfrac{\sin x}{\cos x}}{2\sin x \cos x} = -\lim\limits_{x \to 0} \cfrac{1}{2\cos^2 x} = -\cfrac{1}{2}$

и искомый предел равен

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}} = \cfrac{1}{\sqrt{e}}$

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:42 
Аватара пользователя
maisvendoo, почитайте правила. Здесь не принято выкладывать полные решения учебных задач. Тем более, что уже было предложено много методов.

Кроме того, следите за датами. Тема обсуждалась в мае. Она была необоснованно поднята участником levaly

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:47 
Аватара пользователя
Прошу прощения, увлекся... :oops:

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:50 
Аватара пользователя
Ничего. Это, собственно, levaly виноват, поднимает старые темы.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение10.12.2013, 22:54 
Аватара пользователя
 !  levaly, замечание за некропостинг, да еще и не по делу.

 !  maisvendoo, замечание за размещение полного решения простой учебной задачи.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение09.02.2014, 01:32 

(Оффтоп)

почему, собственно, не удалять в таком случае старые темы?

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение07.04.2014, 11:40 
 !  PUMA
Замечание за неоправданный некропостинг.

 i  Сообщение отделено в новую тему Сходимость несобственного интеграла

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение18.12.2014, 19:00 
 !  Asta601
Замечание за неоправданный некропостинг.

Сообщение отделено в Карантин.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение11.04.2015, 18:30 
Limit79 в сообщении #725381 писал(а):
$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

Эта тема старая.
Я знаю, что про правилам старые темы поднимать нельзя.
И нельзя приводить готовые решения.
Я решение не привожу.
Но в этой замечательной задаче имеется рациональное решение.
Без использования правила Лопиталя и разложения в ряд Тейлора.
Надо было использовать первую попытку автора.
заменой $\cos(x)=t+1$
Но он её не доработал.
Если модераторы не против поиска самого простейшего решения с данной подстановкой, то можно завершить эту тему.
В учебниках и задачниках с решениями подобные решения есть, но не совсем рациональные.
Кто сможет найти это самое простое решение.
Автору задачи оно разумеется уже не требуется.
И поэтому мы ему не делаем халяву.

 
 
 
 Re: Предел
Сообщение11.04.2015, 19:26 
ludwig51
В этой задаче много рациональных решений, и почти все из них успели тут упомянуть. Приводить полные решения типовых примеров из задачника по математическому анализу не является целью ресурса, здесь не решебник в процессе написания.

На мой взгляд, того, что есть, более чем достаточно.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group