Фейнмановские лекции. Задачи.

[Neodymium]

Решил пройти курс Фейнмана, а именно порешать задачи.
Текст первой из них:

Цитата:

При обычных условиях воздух имеет плотность около 0,001 $g/cm^3$, тогда как плотность жидкого воздуха равна примерно 1 $g/cm^3$.
...
в)Рассчитайте среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекулами при нормальном давлении и температуре (длина свободного пробега)
г) Оцените давление, до которого необходимо откачать вакуумную систему, чтобы длина свободного пробега в ней равнялась 1 м

Мое решение шло по такому пути:

Для расчета длины свободного пробега, я представил объем газа в виде "кубической решетки", в объеме каждого куба находится одна молекула, соответственно длина ребра куба равняется длине свободного пробега.
Объем такого "куба" вытекает из количества молекул и объема:
$V_{molec}=\fracVN=\frac{1cm^3}{2.68\cdot10^{19}}=0.03731\cdot10^{-18}cm^3$
Ребро куба
$l=\sqrt[3]{V_{molec}}=0.33\cdot10^{-6}$

Решение Фейнмана:

Цитата:

Представим себе молекулу воздуха в виде твердого шарика с радиусом $r$. Ясно, что молекулы столкнутся, если центры их подойдут на расстояние, меньшее или равное 2. За единицу времени молекула пролетает путь, равный ее средней скорости $v$. При этом она сталкивается со всеми молекулами, центры которых окажутся в "захватываемом" ею объеме $\pi (2r)^2 v$, т.е. испытает $4 \pi r^2 n_0 v$ столкновений ($n_0$ - число молекул в $1 cm^3$ воздуха при нормальных условиях)
Считая для оценки, что между двумя последовательными столкновениями молекула проходит равные расстояния $\lambda$ (это и есть длина свободного пробега) и что все молекулы одинаковы, находим
$\lambda=\frac{v}{(2r)^2 \pi v n_0} = \frac{1}{(2r)^2 \pi n_0}$
Полагая $r \sim 10^{-8} cm$, получаем $\labmda = 3.2\cdot10^{-5} cm$

прекрасно сходится с мои ответом.

А теперь самое интересное.
Для расчета давления для длины пробега 1 м Фейнман сделал следующее:

Цитата:

От давления зависит только число частиц в $1 cm^3$, которое просто пропорционально давлению, так что можно написать $n=cp$ ($c$ - коэффициент пропорциональности) и $\lambda=1/(4 \pi r^2 c p)$, откуда $\lambda p = constant$. Поэтому для длины свободного пробега молекулы при разных давлениях, но одинаковой температуре газа имеем
$\lambda_0 p_0 = \lambda_1 p_1$
Таким образом, давление, при котором длина свободного пробега составляет 1 м, равно
$p_1 = \frac{\lambda_0}{\lambda_1} p_0 = 3.2 \cdot 10^{-7} атм$

В моем решении, исходя из предыдущего хода мысли, получилось такое:
$l^3 = \frac{V}{N_V}$ или $l = \sqrt[3]{\frac{V}{N_V}}$- длина свободного пробега ("ребро куба")

$N_V = \frac{N_A}{V_M}$, $N_A$ число Авогадро, $V_M$ молярный объем

$p \cdot {V_M} = R \cdot T$ уравнение состояний идеального газа

$V_M = \frac{R \cdot T}{p}$
тогда

$l^3=\frac{V \cdot R \cdot T}{N_A \cdot P}$

$p = \frac{V cdot R \cdot T}{N_A \cdot l^3}$ при

$l=1m$ равно $3.77 \cdot 10^{-21} Па$

Далеко не Фейнмановский ответ. Где я ошибся, в расчетах или рассуждениях?

[Ms-dos4]

Собственно читать дальше, чем

Цитата:

я представил объем газа в виде "кубической решетки"

бесполезно, т.к. это модель скорее кристалла, а не газа.

[Neodymium]

Ms-dos4, почему же бесполезно? Разница между сферой у Фейнмана и моим кубом разве что в точности рассчитанной длины пробега, больше ни на что не влияет.

[Ms-dos4]

Нет, разница принципиальная. Обратите внимание, у Фейнмана молекулы не "закреплены", а свободно движутся (сталкиваясь друг с другом), что и является моделью идеального газа. Вы же твёрдо закрепляете их, и у вас фактически появляется кристалл. Вы изначально берёте совершенно неверное представление.

[DimaM]

Neodymium в сообщении #797831 писал(а):

Для расчета длины свободного пробега, я представил объем газа в виде "кубической решетки", в объеме каждого куба находится одна молекула, соответственно длина ребра куба равняется длине свободного пробега.

Так это вы рассчитали среднее расстояние между молекулами. А длина свободного пробега - несколько другое. Это надо нарисовать цилиндр с удвоенным радиусом молекулы и посмотреть, при какой длине внутрь в среднем одна молекула попадет.

[Neodymium]

Ms-dos4 в сообщении #798047 писал(а):

Нет, разница принципиальная. Обратите внимание, у Фейнмана молекулы не "закреплены", а свободно движутся (сталкиваясь друг с другом), что и является моделью идеального газа. Вы же твёрдо закрепляете их, и у вас фактически появляется кристалл. Вы изначально берёте совершенно неверное представление.

Я разделил пространство на кубы, чтобы эти кубы считать областями пространства, где молекула свободно движется от одного соударения до другого.



При это в первом случае этот способ проканал, почему же вы считаете его неверным, если ответ верный?
Во втором случае я подозреваю просто потерял пару нулей, которые возводятся в куб, но уже несколько раз перепроверял и другим путем шел, ответ все тот же.

DimaM в сообщении #798056 писал(а):

Так это вы рассчитали среднее расстояние между молекулами. А длина свободного пробега - несколько другое. Это надо нарисовать цилиндр с удвоенным радиусом молекулы и посмотреть, при какой длине внутрь в среднем одна молекула попадет.

Почему удвоенным радиусом? Как вы себе представляете посмотреть, при какой длине внутрь в среднем одна молекула попадет?

[DimaM]

Neodymium в сообщении #798146 писал(а):

Почему удвоенным радиусом?

Потому что молекулы сталкиваются при расстоянии между центрами меньше суммы радиусов (для одинаковых - удвоенного радиуса).

Neodymium в сообщении #798146 писал(а):

Как вы себе представляете посмотреть, при какой длине внутрь в среднем одна молекула попадет?

Берете цилиндр с удвоенным радиусом и накладываете на вашу кубическую решетку под углом к ребрам. Потом считаете, сколько при какой длине внутрь центров молекул попадет. Средняя длина, на которую попадает один - это и есть длина свободного пробега.
(При учете движения других молекул длина свободного пробега будет немного другой, но отличия невелики, где-нибудь в $\sqrt{2}$ раз.)

[Neodymium]

DimaM в сообщении #798149 писал(а):

Потому что молекулы сталкиваются при расстоянии между центрами меньше суммы радиусов (для одинаковых - удвоенного радиуса).

Так это то же самое, что сделал я, только вместо цилиндров брал куб
Двойной радиус равен ребру куба.

DimaM в сообщении #798149 писал(а):

Берете цилиндр с удвоенным радиусом и накладываете на вашу кубическую решетку под углом к ребрам. Потом считаете, сколько при какой длине внутрь центров молекул попадет. Средняя длина, на которую попадает один - это и есть длина свободного пробега.

Прошу прощения, но что-то туговато у меня с воображалкой. Как это выглядит, не могли бы вы изобразить?

[DimaM]

Neodymium в сообщении #798154 писал(а):

Так это то же самое, что сделал я, только вместо цилиндров брал куб
Двойной радиус равен ребру куба.

Вы смотрите расстояние между молекулами, это другое.

Neodymium в сообщении #798154 писал(а):

Прошу прощения, но что-то туговато у меня с воображалкой. Как это выглядит, не могли бы вы изобразить?

Сейчас нет желания рисовать. Поглядите здесь, глава 5 (стр. 14). Рисунка, правда, нет (может, есть у того же Фейнмана?), но формулы с пояснениями приведены.