система неравенств с параметром

[Julia&K]

Найти все а, при которых система неравенств
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2+4x+3\le a,\\ x^2-2x\le 3-6a, \end{array} \right. $
имеет единственное решение.
Вроде как, типичная система, однако с решением - проблемы) Пыталась решить это графически, но ничего это не дало...идей и нету особо(

[Brukvalub]

Решением каждого из неравенств может быть только пустое множество, точка или отрезок (это управляется дискриминантами соотв. квадратных уравнений). Координаты решения-точки, а также координаты концов решения-отрезка Вы легко найдёте, после чего останется перечислить и соорудить все соответствующие условию случаи взаимного расположения решений.

[Julia&K]

Я рассматривала случаи, когда:
1) в первом ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 2, что удовлетворяет второму нер-ву.
2) во втором ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 1, что не удовлетворяет второму нер-ву.
Какие ещё случаи рассматривать, подскажите, пжл?

[Brukvalub]

Julia&K писал(а):

2) во втором ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 1, что не удовлетворяет второму нер-ву.

Здесь оговорка, или непонимание.
Еще случай: решения обоих неравенств - отрезки с единственной общей точкой.

[Алексей К.]

Ну давайте, что ли, для начала ответим на два вопроса --- вроде как они сами напрашиваются:
1) при каких $a$ первое неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?
2) при каких $a$ второе неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?
(Слицемерил: вопросов оказалось на самом деле 4...)

[Julia&K]

Brukvalub,я имела в виду, что случай, когда во втором нер-ве D=0, а=2/3. При подставлении этого значения параметра в первое нер-во, получается, что корень, полученный при D=0, ему не удовлетворяет=>не подходит. не так?
Алексей К.1) решения только при а=-1; х=2.
2) при а=2/3, х=1...... если решать каждое нер-во отдельно

[Алексей К.]

Алексей К. писал(а):

1) при каких $a$ первое неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?

Julia&K писал(а):

1) решения только при а=-1; х=2. (неверно: $x=-2$ --- AK)
2) при а=2/3, х=1...... если решать каждое нер-во отдельно

Решения первого неравенства имеют вид

$$ -2-\sqrt{1+a}\le x \le -2+\sqrt{1+a}.$$

Решения существуют при $a\ge -1$.
Стало быть, не только при $a=-1$, но и при $a=0$, и при $a=8$, и при $a=155.895$, и ...
Например, при $a=8$ мы имеем кучу решений первого неравенства: $-5\le x \le 1$.

2) при каких $a$ второе неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?

(если я вдруг перестану отвечать --- значит всё таки по причине недомогания ушёл с работы...)

[TOTAL]

Julia&K писал(а):

Я рассматривала случаи, когда:
1) в первом ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 2, что удовлетворяет второму нер-ву.
2) во втором ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 1, что не удовлетворяет второму нер-ву.
Какие ещё случаи рассматривать, подскажите, пжл?

Осталось рассмотреть только случай, когда оба неравенства являются равенствами.

[Алексей К.]

Julia&K писал(а):

Пыталась решить это графически, но ничего это не дало...идей и нету особо

Вот графика к этой задачке:

$$\begin{picture}(100,40)(55,20) \put(-55,0){\vector(1,0){100}} \put(50,-3){$x$} \put(-40,2){\line(0,-1){4}}\put(-45,3){-2} \put(20,2){\line(0,-1){4}}\put(18,3){1} \put(-50,2){\line(0,-1){4}}\put(-54,-10){A} \put(-30,2){\line(0,-1){4}}\put(-34,-10){B} \put(5,2){\line(0,-1){4}}\put(2,-11){C} \put(35,2){\line(0,-1){4}}\put(32,-11){D} \end{picture} $$

...И когда Вы ответите на мой второй вопрос, получится, что решения первого неравенста расположены на орезке $AB$ (симметричном относительно -2), решения второго --- на отрезке $CD$. Если отрезки НЕ перекрываются --- система из 2-х неравенств не имеет решений.
Если перекрываются --- решений тьма.
А когда решение только одно? А тогда, когда точка $B$ совпадёт с точкой $C$. Это $x=B=C$ и будет единственным решением.
Так при каком (каких) $a$ это случится?

[Julia&K]

Решения второго неравенства:

$$ 1-\sqrt{4-6a}\le x \le 1+\sqrt{4-6a} $$

=> решения существуют при

$$ a\le 2/3 $$

...

[TOTAL]

$ \left\{ \begin{array}{l} x^2+4x+3 = a,\\ x^2-2x = 3-6a \end{array} \right. $
Найдите $a$ из этой системы. Затем проверьте. Ведь так проще.

[Julia&K]

TOTAL
разве так мы не упустим друггих вариантов?

[Brukvalub]

TOTAL писал(а):

Осталось рассмотреть только случай, когда оба неравенства являются равенствами.

Julia&K писал(а):

TOTAL
разве так мы не упустим других вариантов?

Не упустите, поскольку равенства соответствуют крайним случаям отрезков-решений. Но найденные а могут оказаться посторонними, поэтому их нужно проверить.

[Julia&K]

Насколько я поняла, нужно найти эти а, и каждый из корней первого и второго уравнения приравнять между собой (4 варианта), затем отобрать подходящие...
В итоге подходит лишь а=0...
+ ещё ранее рассмотренные случаи (a=2/3, a=-1).
да?

[venja]

Julia&K писал(а):

Найти все а, при которых система неравенств
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2+4x+3\le a,\\ x^2-2x\le 3-6a, \end{array} \right. $
имеет единственное решение.
Вроде как, типичная система, однако с решением - проблемы) Пыталась решить это графически, но ничего это не дало...идей и нету особо(

Такие задачи лучше всего решать графически в координатной плоскости $xOa$.
В этом смысле решением порвого неравенства будут точки, координаты $ (x,a)$ которых удовлетворяют первому неравенству. Это будут точки, лежащие внутри (точнее, выше) параболы с уравнением $ a=x^2+4x+3$. Аналогично, решение второго неравенства - точки, лежащие ниже параболы $ a=-\frac16x^2+\frac13x+\frac12$ .
Нарисовав эти параболы (и найдя точки их пересечения), поймете, что решением системы неравенств будут точки, ограниченные этими параболами (обозначим эту область плоскости буквой А). Тогда система при данном значении параметра $a=a_0 $
будет иметь единственное решение только в том случае, если горизонтальная прямая с уравнением $a=a_0 $ имееет только одну точку в пересечении с А. Из рисунка видно, что это только $a=0 $ (с единственным решением $x=-1 $) и
$a=-1 $ (с единственным решением $x=-2 $) .