2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 система неравенств с параметром
Сообщение26.09.2007, 12:31 
Найти все а, при которых система неравенств
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
x^2+4x+3\le a,\\ 
x^2-2x\le 3-6a, 
\end{array} \right. 
$
имеет единственное решение.
Вроде как, типичная система, однако с решением - проблемы) Пыталась решить это графически, но ничего это не дало...идей и нету особо(

 
 
 
 
Сообщение26.09.2007, 12:54 
Аватара пользователя
Решением каждого из неравенств может быть только пустое множество, точка или отрезок (это управляется дискриминантами соотв. квадратных уравнений). Координаты решения-точки, а также координаты концов решения-отрезка Вы легко найдёте, после чего останется перечислить и соорудить все соответствующие условию случаи взаимного расположения решений.

 
 
 
 
Сообщение26.09.2007, 22:24 
Я рассматривала случаи, когда:
1) в первом ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 2, что удовлетворяет второму нер-ву.
2) во втором ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 1, что не удовлетворяет второму нер-ву.
Какие ещё случаи рассматривать, подскажите, пжл? :roll:

 
 
 
 
Сообщение26.09.2007, 22:28 
Аватара пользователя
Julia&K писал(а):
2) во втором ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 1, что не удовлетворяет второму нер-ву.
Здесь оговорка, или непонимание.
Еще случай: решения обоих неравенств - отрезки с единственной общей точкой.

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 10:59 
Ну давайте, что ли, для начала ответим на два вопроса --- вроде как они сами напрашиваются:
1) при каких $a$ первое неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?
2) при каких $a$ второе неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?
(Слицемерил: вопросов оказалось на самом деле 4...)

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 11:53 
Brukvalub,я имела в виду, что случай, когда во втором нер-ве D=0, а=2/3. При подставлении этого значения параметра в первое нер-во, получается, что корень, полученный при D=0, ему не удовлетворяет=>не подходит. не так?
Алексей К.1) решения только при а=-1; х=2.
2) при а=2/3, х=1...... если решать каждое нер-во отдельно

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 12:30 
Алексей К. писал(а):
1) при каких $a$ первое неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?


Julia&K писал(а):
1) решения только при а=-1; х=2. (неверно: $x=-2$ --- AK)
2) при а=2/3, х=1...... если решать каждое нер-во отдельно


Решения первого неравенства имеют вид
$$  -2-\sqrt{1+a}\le x \le -2+\sqrt{1+a}.$$
Решения существуют при $a\ge -1$.
Стало быть, не только при $a=-1$, но и при $a=0$, и при $a=8$, и при $a=155.895$, и ...
Например, при $a=8$ мы имеем кучу решений первого неравенства: $-5\le x \le 1$.

2) при каких $a$ второе неравенство имеет решения, и каковы они, эти решения?

(если я вдруг перестану отвечать --- значит всё таки по причине недомогания ушёл с работы...)

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 12:44 
Аватара пользователя
Julia&K писал(а):
Я рассматривала случаи, когда:
1) в первом ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 2, что удовлетворяет второму нер-ву.
2) во втором ур-ии D=0, тогда мы получаем корень 1, что не удовлетворяет второму нер-ву.
Какие ещё случаи рассматривать, подскажите, пжл? :roll:


Осталось рассмотреть только случай, когда оба неравенства являются равенствами.

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 13:11 
Julia&K писал(а):
Пыталась решить это графически, но ничего это не дало...идей и нету особо

Вот графика к этой задачке:
$$\begin{picture}(100,40)(55,20)
\put(-55,0){\vector(1,0){100}} \put(50,-3){$x$}
\put(-40,2){\line(0,-1){4}}\put(-45,3){-2}
\put(20,2){\line(0,-1){4}}\put(18,3){1}
\put(-50,2){\line(0,-1){4}}\put(-54,-10){A}
\put(-30,2){\line(0,-1){4}}\put(-34,-10){B}
\put(5,2){\line(0,-1){4}}\put(2,-11){C}
\put(35,2){\line(0,-1){4}}\put(32,-11){D}
\end{picture}
$$
...И когда Вы ответите на мой второй вопрос, получится, что решения первого неравенста расположены на орезке $AB$ (симметричном относительно -2), решения второго --- на отрезке $CD$. Если отрезки НЕ перекрываются --- система из 2-х неравенств не имеет решений.
Если перекрываются --- решений тьма.
А когда решение только одно? А тогда, когда точка $B$ совпадёт с точкой $C$. Это $x=B=C$ и будет единственным решением.
Так при каком (каких) $a$ это случится?

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 13:58 
Решения второго неравенства:
$$  1-\sqrt{4-6a}\le x \le 1+\sqrt{4-6a} $$=> решения существуют при $$ a\le 2/3 $$...

 
 
 
 Re: система неравенств с параметром
Сообщение27.09.2007, 14:49 
Аватара пользователя
$ \left\{ \begin{array}{l} 
x^2+4x+3 = a,\\ 
x^2-2x = 3-6a 
\end{array} \right. 
$
Найдите $a$ из этой системы. Затем проверьте. Ведь так проще.

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 20:43 
TOTAL
разве так мы не упустим друггих вариантов? :o

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 21:00 
Аватара пользователя
TOTAL писал(а):
Осталось рассмотреть только случай, когда оба неравенства являются равенствами.

Julia&K писал(а):
TOTAL
разве так мы не упустим других вариантов?
Не упустите, поскольку равенства соответствуют крайним случаям отрезков-решений. Но найденные а могут оказаться посторонними, поэтому их нужно проверить.

 
 
 
 
Сообщение28.09.2007, 15:30 
Насколько я поняла, нужно найти эти а, и каждый из корней первого и второго уравнения приравнять между собой (4 варианта), затем отобрать подходящие...
В итоге подходит лишь а=0...
+ ещё ранее рассмотренные случаи (a=2/3, a=-1).
да? :roll:

 
 
 
 Re: система неравенств с параметром
Сообщение28.09.2007, 16:40 
Julia&K писал(а):
Найти все а, при которых система неравенств
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
x^2+4x+3\le a,\\ 
x^2-2x\le 3-6a, 
\end{array} \right. 
$
имеет единственное решение.
Вроде как, типичная система, однако с решением - проблемы) Пыталась решить это графически, но ничего это не дало...идей и нету особо(

Такие задачи лучше всего решать графически в координатной плоскости $xOa$.
В этом смысле решением порвого неравенства будут точки, координаты $ (x,a)$ которых удовлетворяют первому неравенству. Это будут точки, лежащие внутри (точнее, выше) параболы с уравнением $ a=x^2+4x+3$. Аналогично, решение второго неравенства - точки, лежащие ниже параболы $ a=-\frac16x^2+\frac13x+\frac12$ .
Нарисовав эти параболы (и найдя точки их пересечения), поймете, что решением системы неравенств будут точки, ограниченные этими параболами (обозначим эту область плоскости буквой А). Тогда система при данном значении параметра $a=a_0 $
будет иметь единственное решение только в том случае, если горизонтальная прямая с уравнением $a=a_0 $ имееет только одну точку в пересечении с А. Из рисунка видно, что это только $a=0 $ (с единственным решением $x=-1 $) и
$a=-1 $ (с единственным решением $x=-2 $) .

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group