Уравнение в частных производных.

[Slow]

$\alpha u_{yy}=u_t \\ u(y,0)=0 \\ u(0,t)=v_0$
Какими методами решаются такие уравнения?

[deoxys37]

$\alpha$ это константа? Методом разделения переменных, решение ищется в виде $U(y, t) = f(y)g(t)$. Продифференцировав, нужно сделать сделать так, чтобы в левой и правой частях были функции только от одной переменной (например, справа - только от y, слева - только от t). А такое возможно только в том случае если обе части равенства равны какой-то константе. В конце должно получится два обыкновенных дифференциалных уравнения. (это в случае если $\alpha$ не зависит нит от одного или только от одного из параметров по которым ведется дифференцирование)

[Slow]

Методом разделения переменных не получается, пробовал.

[Otta]

Ну например, методом раскрытия учебника и изучения главы "Теплопроводность в полубесконечном стержне". (Как вариант: стержне, ограниченном с одной стороны.)

[Ms-dos4]

Slow
Плохо пробуете. Это же уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности/диффузии и т.п. в физике), и оно прекрасно решается разделением переменных.

[Slow]

Тогда возможно вы найдете ошибку в моих рассуждениях:
$\alpha f''(y)g(t)=f(y)g'(t) \\ f(y)g(0)=0 \\ f(0)g(t)=v_0 \\ \frac{\alpha f''}{f}=\frac{g'}{g}=\mu \\ g'=\mu g \\ g=c e^{\mu t} \\ g(0)=0, c=0, g=0, $

[пианист]

Slow
Если не секрет, откуда такая задача?
Несколько смущает, что начальное условие противоречит краевому (если только не положить $v_0 = 0$). Это так и должно быть?

[Slow]

Задача по гидродинамике: несжимаемая вязкая жидкость занимает полупространство $y>0$ и ограничена снизу стенкой $y = 0$. Первоначально стенка и жидкость покоились. Затем внезапно, при $t = 0$, стенка мгновенно начинает двигаться с постоянной скоростью $v_0$, направленной вдоль оси z. Первое условие означает что жидкость в начальный момент времени покоилась, а второе это условие прилипания жидкости к стенке движущейся со скоростью $v_0$. Найти z-ю компоненту вектора скорости при $t>0$
Хм, может стоит добавить в условие что $u(0,t)=v_0 $ при $t>0$

-- 09.12.2013, 08:45 --

Кстати в задачнике даже дан ответ: $u(y,t)=v_0(1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{y}{\sqrt{4\alpha t}}}e^{-s^2}ds)$

[Otta]

Slow, Вы по идейным соображениям учебник не хотите смотреть? Это классическая задача. Но если хочется решить ее самостоятельно - другое дело.

[sup]

В точке (0,0) возникает разрыв. Поэтому сначала от него надо избавиться. Один из возможных подходов - сначала проинтегрировать все по $t$ (потом решение продифференцируем). Для этого полагаем
$u(x,t) = v_t(x,t)$.
Тогда
$v(0,t) = v_0t$
$v(x,0) = 0$
$v_t - \alpha v_{xx} = 0$
Решим эту задачу, а потом решение продифференцируем по $t$. Для решения этой вспомогательной задачи сначала с помощью функции $v_1(x,t) = v_0t$ обнуляем краевое условие, а потом используем нечетное продолжение в область $x<0$. Можно и не продолжать, а использовать синус-преобразование Фурье. Но на мой взгляд это "что в лоб, что по лбу". Лично мне кажется предпочтительней работать с "чистыми" экспонентами.

[Vince Diesel]

Можно вычесть сначала $v_0$ из решения, а затем записать ответ с помощью функции Грина на полупрямой.

[Slow]

Otta
А что за учебник не подскажите?

[Otta]

Slow, уй, да практически любой по урматам. Напр, Араманович, Левин, "Уравнения математической физики". Да и во Владимирове должно быть. Да и в сети можно посмотреть, чисто по заголовку.
Подсказывают Вам совершенно верно, нечто подобное Вы в учебнике и увидите: в несколько более общем случае, само собой. Так что можно, в принципе, и подсказками обойтись.

[Slow]

sup
$v_t=\alpha v_{xx} \\ v(0,t)=v_0t \\ v(x,0)=0 \\ v(x,t)=w(x,t)+v_0t \\$
Получаем новую задачу:
$ w_t+v_0=\alpha w_{xx} \\ w(x,0)=0 \\ w(0,t)=0 $
Как теперь ее решать?

[sup]

Ваша задача имеет вид

$w_t - \alpha w_{xx} = f$
$w(x,0)=0$
$w(0,t)=0$

Я уже предлагал пару подходов для решения этой задачи. Но не уверен, что Вы поняли о чем я говорил. Можно решать эту задачу как есть, на полупрямой. А можно свести ее к другой задаче уже на всей прямой. Дело вкуса. Во втором случае надо будет решение исходной задачи определенным образом продолжить в область $x<0$. Зато при этом не будет края ($x=0$).
В любом случае, речь идет о методе Фурье (разделение переменных). Иногда говорят о применении преобразования Фурье. Ну так и посмотрите где-нибудь в книжках примеры на полупрямой или прямой. Вам это уже несколько раз советовали. Вам же не просто решение надо, а еще бы и понимание: что делать, если встретится задача такого рода.