2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 00:10 
$\alpha u_{yy}=u_t \\
u(y,0)=0 \\
u(0,t)=v_0$
Какими методами решаются такие уравнения?

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 01:53 
Аватара пользователя
$\alpha$ это константа? Методом разделения переменных, решение ищется в виде $U(y, t) = f(y)g(t)$. Продифференцировав, нужно сделать сделать так, чтобы в левой и правой частях были функции только от одной переменной (например, справа - только от y, слева - только от t). А такое возможно только в том случае если обе части равенства равны какой-то константе. В конце должно получится два обыкновенных дифференциалных уравнения. (это в случае если $\alpha$ не зависит нит от одного или только от одного из параметров по которым ведется дифференцирование)

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 03:26 
Методом разделения переменных не получается, пробовал.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 04:37 
Ну например, методом раскрытия учебника и изучения главы "Теплопроводность в полубесконечном стержне". (Как вариант: стержне, ограниченном с одной стороны.)

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 04:38 
Slow
Плохо пробуете. Это же уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности/диффузии и т.п. в физике), и оно прекрасно решается разделением переменных.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 06:39 
Тогда возможно вы найдете ошибку в моих рассуждениях:
$\alpha f''(y)g(t)=f(y)g'(t) \\
f(y)g(0)=0 \\
f(0)g(t)=v_0 \\
\frac{\alpha f''}{f}=\frac{g'}{g}=\mu \\
g'=\mu g \\
g=c e^{\mu t} \\
g(0)=0,  c=0,  g=0, $

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 07:12 
Аватара пользователя
Slow
Если не секрет, откуда такая задача?
Несколько смущает, что начальное условие противоречит краевому (если только не положить $v_0 = 0$). Это так и должно быть?

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 07:39 
Задача по гидродинамике: несжимаемая вязкая жидкость занимает полупространство $y>0$ и ограничена снизу стенкой $y = 0$. Первоначально стенка и жидкость покоились. Затем внезапно, при $t = 0$, стенка мгновенно начинает двигаться с постоянной скоростью $v_0$, направленной вдоль оси z. Первое условие означает что жидкость в начальный момент времени покоилась, а второе это условие прилипания жидкости к стенке движущейся со скоростью $v_0$. Найти z-ю компоненту вектора скорости при $t>0$
Хм, может стоит добавить в условие что $u(0,t)=v_0 $ при $t>0$

-- 09.12.2013, 08:45 --

Кстати в задачнике даже дан ответ: $u(y,t)=v_0(1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{y}{\sqrt{4\alpha t}}}e^{-s^2}ds)$

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 09:05 
Slow, Вы по идейным соображениям учебник не хотите смотреть? Это классическая задача. Но если хочется решить ее самостоятельно - другое дело.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 09:05 
В точке (0,0) возникает разрыв. Поэтому сначала от него надо избавиться. Один из возможных подходов - сначала проинтегрировать все по $t$ (потом решение продифференцируем). Для этого полагаем
$u(x,t) = v_t(x,t)$.
Тогда
$v(0,t) = v_0t$
$v(x,0) = 0$
$v_t - \alpha v_{xx} = 0$
Решим эту задачу, а потом решение продифференцируем по $t$. Для решения этой вспомогательной задачи сначала с помощью функции $v_1(x,t) = v_0t$ обнуляем краевое условие, а потом используем нечетное продолжение в область $x<0$. Можно и не продолжать, а использовать синус-преобразование Фурье. Но на мой взгляд это "что в лоб, что по лбу". Лично мне кажется предпочтительней работать с "чистыми" экспонентами.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 11:53 
Можно вычесть сначала $v_0$ из решения, а затем записать ответ с помощью функции Грина на полупрямой.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 23:06 
Otta
А что за учебник не подскажите?

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение09.12.2013, 23:17 
Slow, уй, да практически любой по урматам. Напр, Араманович, Левин, "Уравнения математической физики". Да и во Владимирове должно быть. Да и в сети можно посмотреть, чисто по заголовку.
Подсказывают Вам совершенно верно, нечто подобное Вы в учебнике и увидите: в несколько более общем случае, само собой. Так что можно, в принципе, и подсказками обойтись.

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение10.12.2013, 03:37 
sup
$v_t=\alpha v_{xx} \\
v(0,t)=v_0t \\
v(x,0)=0 \\ 
v(x,t)=w(x,t)+v_0t \\$
Получаем новую задачу:
$
w_t+v_0=\alpha w_{xx} \\
w(x,0)=0  \\
w(0,t)=0
$
Как теперь ее решать?

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных.
Сообщение10.12.2013, 11:55 
Ваша задача имеет вид

$w_t - \alpha w_{xx} = f$
$w(x,0)=0$
$w(0,t)=0$

Я уже предлагал пару подходов для решения этой задачи. Но не уверен, что Вы поняли о чем я говорил. Можно решать эту задачу как есть, на полупрямой. А можно свести ее к другой задаче уже на всей прямой. Дело вкуса. Во втором случае надо будет решение исходной задачи определенным образом продолжить в область $x<0$. Зато при этом не будет края ($x=0$).
В любом случае, речь идет о методе Фурье (разделение переменных). Иногда говорят о применении преобразования Фурье. Ну так и посмотрите где-нибудь в книжках примеры на полупрямой или прямой. Вам это уже несколько раз советовали. Вам же не просто решение надо, а еще бы и понимание: что делать, если встретится задача такого рода.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group