Конечные поля и группы Галуа

[AV_77]

Так, только включения в другую сторону.

[DoubleBubble]

То есть группа Галуа такого расширения будет "четверной". Но это же $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$?
А мне нужно $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$

[Xaositect]

DoubleBubble в сообщении #797744 писал(а):

То есть группа Галуа такого расширения будет "четверной". Но это же $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$?

Нет, это как раз то, что Вам нужно. $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ называют четверной группой Клейна.

[DoubleBubble]

То есть расширение степени 4, и два расширения степени 2 дают разные группы Галуа?

[AV_77]

Могут разные, могут одинаковые, вы вообще не о том говорите, связь далеко не такая прямая. Например $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$. В обоих случаях получается группа $\mathbb{Z}_2^2$, но в первом при двух квадратичных расширениях, а во втором - присоединяется корень уравнения 4-й степени.

[DoubleBubble]

Как мне определить, если у меня есть расширение степени 6 - будет группа Галуа $\mathbb{Z}_6$ или $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$?

[AV_77]

DoubleBubble в сообщении #797779 писал(а):

Как мне определить, если у меня есть расширение степени 6 - будет группа Галуа $\mathbb{Z}_6$ или $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$?

Это одна и та же группа. У расширения 6 степени могут быть группы $\mathbb{Z}_6$ и $S_3$.

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #797779 писал(а):

Как мне определить, если у меня есть расширение степени 6 - будет группа Галуа $\mathbb{Z}_6$ или $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$?

Никак. Поскольку $\mathbb Z_6=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3$.
Иное дело - различить $\mathbb Z_6$ и $S_3$

PS: Пока все эти matbb набирал, уже ответили

[DoubleBubble]

Окей, а если степень расширения - не простое число $q$, то как понять, чем будет группа Галуа - $\mathbb{Z}_q$ или прямое произведение $\mathbb{Z}_{p_i}$, где $p_i$ - простые делители в разложении $q$?

[AV_77]

Построить группу Галуа и посмотреть какая она получится.

[DoubleBubble]

А, кажется понял, спасибо!