Задача по теории Галуа

[DoubleBubble]

Добрый день.

Помогите разобраться с задачей.
Условие: найти неприводимый над $\mathbb{Q}$ многочлен степени 3 такой, чтобы группа Галуа его поля разложения была изоморфна $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Полем разложения такого многочлена будет $\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$, где $x_1, x_2, x_3$ - корни этого самого многочлена. Группа Галуа этого поля имеет размерность 3. Как я понимаю, её базис будет дуальным к базису поля. Но такие размышления никак не конкретизируют искомый полином. То есть мне пока даже не ясно - единственный ли он.
Подскажите хотя бы в какую сторону мыслить?

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #796925 писал(а):

Полем разложения такого многочлена будет $\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$, где $x_1, x_2, x_3$ - корни этого самого многочлена. Группа Галуа этого поля имеет размерность 3.

Вот и попробуйте найти такой многочлен 3-й степени, чтобы $[\mathbb{Q}(x_1,x_2,x_3):\mathbb{Q}]=3$. Иными словами, нужно, чтобы $x_2$ и $x_3$ рационально выражались через $x_1$.

[DoubleBubble]

Как попробовать? :)
В голову пришёл вариант $x_1 = \sqrt[4]{2},\; x_2 = \sqrt{2},\; x_3 = \sqrt[4]{2^3}$
$\\x_2 = x_1 \cdot x_1\\x_3 = x_1 \cdot x_1 \cdot x_1$
Но я этот вариант ни доказать ни объяснить. Что называется - пальцем в небо.

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #796961 писал(а):

В голову пришёл вариант $x_1 = \sqrt[4]{2},\; x_2 = \sqrt{2},\; x_3 = \sqrt[4]{2^3}$

Это плохой вариант, так как многочлен с такими корнями не будет иметь рациональные коэффициенты.

[DoubleBubble]

Да, конечно. Вы правы.

Наверняка есть какой-то метод?

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #796988 писал(а):

Наверняка есть какой-то метод?

Есть. Намекну: нужно рассмотреть дискриминант кубического многочлена. Каким этот дискриминант должен быть, что все корни уравнения можно было рационально выразить через один из них?

[DoubleBubble]

На ум приходит только то, что при нулевом дискриминанте все три корня могут совпасть, но это какой-то вырожденный случай.
Мне кажется, что я никогда не слышал, чтобы дискриминант позволял судить о том, выражаются ли корни друг через друга.

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #797021 писал(а):

Мне кажется, что я никогда не слышал, чтобы дискриминант позволял судить о том, выражаются ли корни друг через друга.

Открываю тайну: докажите, что если дискриминант кубического многочлена является точным квадратом, то все корни можно рационально выразить через один из них.

[DoubleBubble]

Ок, ну нашёл я, что для кубического уравнения вида $x^3 + px + q = 0$ корни будут иметь вид

$\\x_1 = \alpha +\beta \\ x_{2,3} = -\frac{\alpha +\beta}{2} \pm i\frac{\alpha -\beta}{2}\sqrt{3} $, где

$\\\alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}\\ \beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}} $

а $D=-4\cdot p^3-27\cdot q^2$ - дискриминант.
Но всё равно я битый час не могу увидеть, что если D - квадрат какого-то целого числа, то я смогу выразить $x_{2,3}$ через $x_1$.

[nnosipov]

А Вы напишите равенства $(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)=a$, $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_1x_2=p$ и попробуйте с ними чего-нибудь поделать. (Про формулу Кардано лучше не вспоминать.)

[DoubleBubble]

Вы как-то слишком прозрачно намекаете. От двух часов "чего-то делания" я так ни к чему и не пришёл.
Даже не знаю что нужно увидеть/получить.

[nnosipov]

DoubleBubble в сообщении #797152 писал(а):

От двух часов "чего-то делания" я так ни к чему и не пришёл.

Так, похоже, что я Вас немного запутал, извиняюсь. Быстрее выйдет, если мы будем чего-то делать с равенствами

$$ (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)=a, \quad x_1+x_2+x_3=0, \quad x_1x_2x_3=-q. $$

Мы хотим выразить $x_2$ и $x_3$ через $x_1$. Для этого нам достаточно выразить $x_2 \pm x_3$ через $x_1$. Что касается суммы $x_2+x_3$, то здесь всё ясно:

$$ x_2+x_3=-x_1. $$

А вот с разностью $x_2-x_3$ нужно немного повозиться. Имеем

$$ x_2-x_3=\frac{a}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}=\frac{a}{x_1^2-(x_2+x_3)x_1+x_2x_3}. $$

Осталось сделать последний шаг.

[DoubleBubble]

$\frac{a}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}=\frac{a}{x_1^2-(x_2+x_3)x_1+x_2x_3}=\frac{a}{x_1^2+x_1^2-qx_1^{-1}}=\frac{a}{2x_1^2-qx_1^{-1}}=\frac{ax_1}{2x_1^3-q}$

[nnosipov]

Ну вот, доказали.

[DoubleBubble]

А что такое $a$ и откуда оно появилось?