Стохастическая матрица

[Tigran-aminator]

Всегда ли можно представить одну стохастическую матрицу в виде произведения двух произвольных стохастических матриц?
Посоветуйте, пожалуйста, соответствующую литературу.

[--mS--]

В каком смысле "произвольных"? Матрица не может быть произведением чего попало на что попало. А если не что попало, то почему бы и не $P=P\cdot E$? Обе стохастические.

[Tigran-aminator]

--mS--, произвольные на столько что бы число строк и столбцов позволяло сделать произведение этих матриц и в результате получить требуемую матрицу. Но перемножаемые матрицы должны быт не единичными, не диагональными, а просто произвольными стохастическими матрицами.

[--mS--]

Если перемножить произвольные стохастические матрицы, наверняка получится всё что угодно, но только не данная матрица.

Давайте Вы попробуете сформулировать вопрос более осмысленно?

[provincialka]

(Оффтоп)

...только бы попасть куда-нибудь, - пояснила Алиса.
- Куда-нибудь ты обязательно попадешь, - сказал Кот. - Нужно только достаточно долго идти.

[--mS--]

Ну я могу, конечно, пофантазировать . Может быть, ТС пригодится Гантмахер Ф.Р. "Теория матриц"? Про стохастические матрицы там много интересного.

[Tigran-aminator]

--mS--, благодарю за книгу.

Мне трудно понять как еще более точно сформулировать вопрос. Есть произвольная стохастическая матрица $P$, в ней $w$ строк, $d$ столбцов. Вопрос всегда ли можно найти две стохастические матрицы $Q$ (в ней $w$ строк, $t$ столбцов) и $R$ (в ней $t$ строк, $d$ столбцов), что бы $Q\cdot R=P$

[Евгений Машеров]

Если $ t<w$ или $t<d$. то не всегда. Ранг произведения матриц не превышает минимума из рангов сомножителей. А матрицу P можно взять с рангом, большим t.

[--mS--]

Дополню.

Tigran-aminator в сообщении #796982 писал(а):

Есть произвольная стохастическая матрица $P$, в ней $w$ строк, $d$ столбцов. Вопрос всегда ли можно найти две стохастические матрицы $Q$ (в ней $w$ строк, $t$ столбцов) и $R$ (в ней $t$ строк, $d$ столбцов), что бы $Q\cdot R=P$

Всегда считала, что стохастическая матрица квадратна. Как матрица переходных вероятностей некоторой ЦМ. Ну, как угодно, пусть будет прямоугольная. Ответ на этот вопрос уже был дан: всегда. Достаточно взять одну из матриц единичной. Не годится почему-то единичная - переставьте строки или столбцы, будет не единичная.

Если $t$ задано заранее, то при $t \geqslant\min (w,\,d)$ ответ тот же - всегда. Достаточно в одну из этих матриц (куда войдёт) поместить целиком $P$, а вторую составить как единичную клетку против соответствующих строк или столбцов $P$, дополненную нулями.

[Deggial]

Евгений Машеров в сообщении #797010 писал(а):

t<w или t<d

Евгений Машеров, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[Евгений Машеров]

--mS--
Спасибо за дополнение.


В общем, в такой постановке задача смотрится либо тривиальной, либо неразрешимой. Очаровательное сочетание!
Возможно, есть резон отступить на пару шагов назад, взглянуть на содержательную постановку задачи и попробовать переформулировать формальную постановку?

(Оффтоп)

В порядке опыта по телепатии

Есть объект, на некотором шаге принимающий w состояний, на следующем d, причём вероятности переходов задаются некоей матрицей. Можно ли ввести промежуточный шаг с t состояниями, причём t меньше w и d, вероятность переходов из первого в промежуточный и из промежуточного во второй задаётся некими матрицами меньшей размерности?
Если это правильная постановка - то можно, если ранг исходной матрицы перехода не превышает t. Это необходимое условие. Возможно, и достаточное, но доказать не могу.

[--mS--]

Конечно, достаточное. На пальцах. Пусть, скажем, $w<d$, и первые $t<w$ строк матрицы $P$ линейно независимы. Берём эти строки и составляем из них второй сомножитель - матрицу $R(t\times d)$. Матрицу $Q(w\times t)$, являющуюся первым сомножителем, составляем так: первые $t$ строк - единичная матрица, остальные составляем из коэффициентов (в сумме дающих единицу), с помощью которых соответствующие строки матрицы $P$ выражаются через первые $t$ строк. Всё.

[Tigran-aminator]

Мне не совсем понятно почему если ранг $P>t$, то не всегда $P$ можно представить как $P=Q\cdot R$

[svv]

Не «не всегда», а «никогда».
Пусть матрица $P$ имеет размер $5\times 5$, и она полного ранга ($5$).
Пусть $t=3$, то есть
$Q$ — матрица размера $5\times 3$,
$R$ — матрица размера $3\times 5$.
Тогда матрица $QR$ имеет нужный размер, но её ранг не больше $3$ (он равен минимальному из рангов $Q$ и $R$). Соответственно, $QR$ не может быть равна $P$.

Почему ранг $QR$ не больше $3$? Поскольку размер $R$ равен $3\times 5$, то её столбцы линейно зависимы. Независимых может быть не больше трех. Пусть, например, последние два столбца $R$ являются линейными комбинациями первых трех. Легко видеть, что тогда последние два столбца $QR$ будут такими же линейными комбинациями первых трех (в силу линейности операции умножения вектора-столбца на матрицу слева).

[Tigran-aminator]

Итог беседы:
Если $t<w, t<d$ и ранг $P>t$, то невозможно $P=Q\cdot R$.
Вопрос, если $t<w, t<d$ и ранг $P\le t$, то всегда можно найти такие $Q$ и$R$, что $P=Q\cdot R$? Учитывая, что матрицы стохастические, элементы больше нуля и меньше единицы.