Числовой ряд

[randy]

Дан числовой ряд $\Sigma^{\infty}_{n=1}\frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3\sin^2 n}$, нужно исследовать на сходимость. Как я понимаю, тут нужно доказать, что $\frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3\sin^2 n}<\frac {1}{n^3}$?

[Whitaker]

Нет. Общий член этого ряда нужно оценить снизу. Напишите элементарную верхнюю оценку для синуса.

[gris]

Это было бы неплохо, но вряд ли получится. Но идея правильная. Только неравенство не туда. А вот если бы вместо пятой степени вверху стояла вторая, задача была бы поинтересней.

Это я не видел предыдущего сообщения, с которым солидарен.

[randy]

действительно, неравенство в другую сторону получается, поскольку $n^3\sin^2 n< n^3$. $\frac {\sqrt {n^5+2}}{n^3\sin^2 n}>\frac {\sqrt {n^5+2}}{n^3}>\frac {1}{n^3}$ Значит сравнивать с гармоническим рядом не следует?

[Otta]

randy в сообщении #796655 писал(а):

$\frac {\sqrt {n^5+2}}{n^3\sin^2 n}>\frac {\sqrt {n^5+2}}{n^3}>\frac {1}{n^3}$

Нипонял. И что дает последняя оценка?

[gris]

Мажорировать надо сходящимся рядом, а минорировать расходящимся. Ряд из обратных кубов сходится, значит в данной задаче не действует.

[randy]

все таки с гармоническим рядом сравнивать? $\frac {1}{n}$ вроде ничего там не получается. или делением пробовать получить в пределе конечное число?

[provincialka]

randy в сообщении #796709 писал(а):

$\frac {1}{n}$ вроде ничего там не получается. или делением пробовать получить в пределе конечное число?

А вы прикиньте, каков порядок общего члена. Если считать, что синус - это примерно константа, то слагаемое эквивалентно $\frac{1}{n^p}$. И чему равно $p$?

[_Ivana]

provincialka, думаю, вы бы сами не зачли такое "решение" в данном случае.

[provincialka]

Разве это решение? Это просто направление для мысли. Грубая первоначальная прикидка. Почему ТС пытается сравнить свой ряд именно с гармоническим? А правильное рассуждение было подсказано уже в первом ответе.

[randy]

provincialka в сообщении #796739 писал(а):

Почему ТС пытается сравнить свой ряд именно с гармоническим?

ну можно попытаться как-то так сравнивать $\frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3\sin^2 n}<\frac {{n^5+2}}{n^3\sin^2 n}$ и уже от последнего брать предел, но синус в знаменателе все портит. Или же раз синус меньше 1, то его можно вообще не рассматривать и брать предел от $\frac {{n^5+2}}{n^3}$?

[ИСН]

Вы что хотите доказать, да? Что он расходится? Что он сходится? Что он тся? Ещё варианты?

[iifat]

Вот сюда ещё посмотрите.

[randy]

А вот так верно сравнивать?:
$\frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3\sin^2 n}> \frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3}$ (так как $n^3 \sin^2 n< n^3$
Ну а $\frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3}$ расходится, значит и исходное выражение расходится

[svv]

Верно.

Два контрольных вопроса.
1) А почему $\sum\frac {\sqrt{n^5+2}}{n^3}$ расходится? Докажите.
2) Известно, что синус иногда всё-таки бывает равен $+1$ или $-1$. Однако Вы пишете строгое неравенство: $n^3 \sin^2 n< n^3$. Почему так можно делать? (Это вопрос немножко в сторону, потому что и с нестрогим неравенством доказательство проходит, но всё же?)