Производная модуля

[Ubermensch]

Не понимаю, как находить производную от модуля.
$y=|(x-1)^2(x+1)^3|$, ответ: $(x-1)(x+1)^2(5x-1)sgn(x+1)$.
Нашёл производную по формулам:
$y'=sgn((x-1)^2(x+1)^3)\cdot(2(x-1)(x+1)^3+3(x+1)^2(x-1)^2)$, если $x\ne-1, 1$
Я смотрел конспект, так там в точках, в которых сигнум равняется нулю, ищут производную по определению. Я правильно понял? Тогда я не понимаю, почему.
Ведь если существует производная, значит функция непрерывная. Но у нас в точках -1,1 сигнум терпит разрыв. Зачем мы ищим там производную по определению?

[provincialka]

Ubermensch в сообщении #796734 писал(а):

Но у нас в точках -1,1 сигнум терпит разрыв. Зачем мы ищим там производную по определению?

Так ведь сигнум - не входит в запись функции. Данная функция непрерывна на всей прямой. Просто в некоторых точках производную нельзя найти с помощью стандартных свойств. Вот и приходится возвращаться к определению

[Ubermensch]

Да, не входит. Почему тогда нам недостаточно такого решения, как я выше написал. Почему нас смущает сигнум, если сигнум - это не наша функция. Это значение производной. Нам ведь важно, чтобы функция была неразрывна, а про производную ничего не сказано. Почему нас смущает -1 1? Почему производная в этих точках е равна нулю и нам нужно считать производную в этих точках по определению?

-- 05.12.2013, 21:11 --

И почему в ответе фигурирует $sgn(x+1)$. Ведь из-за такого преобразования теряется точка $1$

-- 05.12.2013, 21:15 --

И вообще как они пришли к такому ответу?

[provincialka]

Ubermensch в сообщении #796738 писал(а):

Почему производная в этих точках е равна нулю и нам нужно считать производную в этих точках по определению?

это "е" - осколок "не" или просто лишняя буква? Производная, в этих точках, конечно, равна 0.

Давайте рассуждать. Как можно найти производную функции в точке? Например, используя арифметические свойства. Если производные функций $u, v$ в точке $x$ существуют, то производная произведения в той же точке имеет вид $u'v+uv'$. А что делать, если производная одной из функций, скажем, $v$, в точке $x$ не существует? Тогда правило применять нельзя. Но ведь это не значит, что и производная функции $uv$ не существует. Тут-то и приходится возвращаться к определению.

[Ubermensch]

Но почему в нашем случае не существует производной в -1? Ведь наш $sgn$ при -1 равняется 0.
Это из-за того, что, например, в точке 1+0 одно значение, а в 1-0 другое, поэтому нужно искать по определению?

[provincialka]

Это смотря как решать. Если не преобразовывать исходную функцию, то придется отдельно рассматривать все точки, в которых модуль равен 0. Потому что в этих точках он не имеет производной. А ведь вы решали именно так.
Другое дело, что формулу можно предварительно упростить: $y=(x-1)^2|(x+1)^3|$. Теперь видно, что проверять отдельно нужно только точку $x=-1$.

[Ubermensch]

И если производные в 1+0 1-0 по определению будут равны, значит мы нашли производную в этой точке.
А если различны, то мы удостоверились, что её не существует?

[provincialka]

Вообще говоря, нет. Вернее, это верно, но надо доказывать. Есть такая теорема: если производная в точке существует, то она не может иметь в этой точке скачок, а только разрыв второго рода. Но эту теорему не всем рассказывают.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Только избранным? ;-) Представляю, как среди избранных распространяют новость: в полночь в аудитории 433 доцент Малиновский будет доказывать особо секретную теорему...

[Ubermensch]

Aritaborian в сообщении #796759 писал(а):

(Оффтоп)

Только избранным? Представляю, как среди избранных распространяют новость: в полночь в аудитории 433 доцент Малиновский будет доказывать особо секретную теорему...

(Оффтоп)

Минск? аудитория 433? мехмат?

[provincialka]

Aritaborian. У нас (прикладная математика) эту теорему не дают. Думаю, физикам - тем более.

[Ubermensch]

Я всё равно не могу понять, как решать.
К ответу придти не могу.

Структура решения какая должна быть в такого рода задачах?

-$y'$
-в точках, где $y'$ имеет разрывы, искать производную по определению.
-искать лево- и правосторонний предел точки разрыва?
-если они равны, то.., если различны, то ...

Так? Почему тогда такой ответ

[Urnwestek]

provincialka в сообщении #796755 писал(а):

Вообще говоря, нет. Вернее, это верно, но надо доказывать. Есть такая теорема: если производная в точке существует, то она не может иметь в этой точке скачок, а только разрыв второго рода. Но эту теорему не всем рассказывают.

По-моему та теорема к делу не относится.
Она о том, что если функция дифференцируема, то она может иметь разрывы только второго рода. А у ТС задача исследовать «подозрительные точки» на недифференцируемость.
И то, что ТС сказал верно просто по свойствам предела (если левый предел неравен правому, то и двусторонний предел несуществует, а если оба пределы существует и равны, то и двусторонний предел тоже существует и равен обеим односторонним).

[provincialka]

Ubermensch в сообщении #796766 писал(а):

-в точках, где $y'$ имеет разрывы, искать производную по определению.

Не разрывы! В вашем случае никаких разрывов у производной нет!
Всего два пункта.
1. Вычисляем производную с помощью арифметических свойств (сумма, разность, произведение, дробь, сложная функция).
2. Если в некоторых точках этот метод не дает ответа - использовать определение.

Дело не в свойствах производной, а в возможностях метода.

[Urnwestek]

Грубо говоря, в теореме говорится, что ситуации
$\lim\limits_{x\to-a}f'(x) \neq \lim\limits_{x\to+a}f'(x)$ быть не может (если функция в a дифференцируема),

А ТС спрашивал следует ли, что из
$\lim\limits_{x\to-a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \neq \lim\limits_{x\to+a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ то, что в точке $a$ производной нету. Очевидно — следует. Хотя, я может быть неправильно всё интерпретировал.