Постоянна или нет физическая скорость света?

[trianon]

igorelki в сообщении #791388 писал(а):

Возник вопрос по поводу скорости света, измеренной в одну сторону (односторонней скорости света). Понятно, что скоростью света измеренной в две стороны измеряют метр и количество метров за секунду для этой скорости записано в определении метра.
Имеется в виду не только локальная скорость света, которая может быть не постоянна в малых локальных областях по ОТО. Имеются в виду большие расстояния, на которых заметно искривление физического пространства. А так как искривлением уже пренебречь нельзя (иногда им нельзя пренебречь и в малых локальных областях), то метрика этого пространства не евклидова и единица измерения метрики тогда уже не метр. Получается, что метр - это посторонняя единица для физического пространства. Тогда свет движется себе в единицах искривлённой метрики с постоянной скоростью, если уж он в чём-то и движется с постоянной скоростью. Фактически для такого пространства единица метрики меняется в метрах с расстоянием. Фактически для такого пространства единица метрики меняется в метрах с расстоянием.
Поэтому в метрах то скорость вроде должна быть переменной?

Дело в том, что постоянна не скорость С, а только числовой результат ее измерения местными мерками длины и времени.
Эти мерки, "снимаемые со света", претерпевают те же самые искажения, что и вектор самого света. И изменение скорости света при измерении ее такими мерками практически полностью нивелируется точно таким же изменением самих мерок.
Вернее, полностью - если измерения основаны на усреднении скорости света "туда-обратно".

[igorelki]

trianon в сообщении #793928 писал(а):

igorelki в сообщении #791388 писал(а):

Возник вопрос по поводу скорости света, измеренной в одну сторону (односторонней скорости света). Понятно, что скоростью света измеренной в две стороны измеряют метр и количество метров за секунду для этой скорости записано в определении метра.
Имеется в виду не только локальная скорость света, которая может быть не постоянна в малых локальных областях по ОТО. Имеются в виду большие расстояния, на которых заметно искривление физического пространства. А так как искривлением уже пренебречь нельзя (иногда им нельзя пренебречь и в малых локальных областях), то метрика этого пространства не евклидова и единица измерения метрики тогда уже не метр. Получается, что метр - это посторонняя единица для физического пространства. Тогда свет движется себе в единицах искривлённой метрики с постоянной скоростью, если уж он в чём-то и движется с постоянной скоростью. Фактически для такого пространства единица метрики меняется в метрах с расстоянием. Фактически для такого пространства единица метрики меняется в метрах с расстоянием.
Поэтому в метрах то скорость вроде должна быть переменной?

Дело в том, что постоянна не скорость С, а только числовой результат ее измерения местными мерками длины и времени.
Эти мерки, "снимаемые со света", претерпевают те же самые искажения, что и вектор самого света. И изменение скорости света при измерении ее такими мерками практически полностью нивелируется точно таким же изменением самих мерок.
Вернее, полностью - если измерения основаны на усреднении скорости света "туда-обратно".

Так с этим я не только не спорю, а пишу, что именно так и происходит. Но так как метр чужд нашему физическому пространству, то в метрах скорость света переменна.

-- Пт ноя 29, 2013 21:23:55 --

Munin в сообщении #791629 писал(а):

igorelki в сообщении #791592 писал(а):

То есть получается, что метр постоянен, а единицы измерения реального пространства меняются в метрах в зависимости от удаления от наблюдателя.

Метр на рулетке постоянен, и единицы измерения реального пространства - это те самые сантиметры и метры на рулетке. И не меняются они.

Я пишу не о том, что на рулетке что-то там меняется, а о том, что свет не должен лететь с постоянной скоростью в единицах чуждых данному пространству.

Munin в сообщении #793561 писал(а):

igorelki в сообщении #793423 писал(а):

Более общая, это та, которая использует меньше аксиом или ограничений.

Одни и те же теории можно изложить с разными наборами аксиом.

Так что, более общая та, которая позволяет представить менее общую как частный случай.

В этом смысле, конечно, ни риманова, ни проективная геометрия не являются более общими по отношению одна к другой. Но есть геометрия, более общая по отношению к ним обеим: геометрия гладких многообразий. И она показывает, что риманова геометрия в целом гораздо сложнее и разнообразнее, чем проективная.

Хорошо, не буду спорить, что некоторые многообразия могут быть построены на поверхностях с проективной геометрией, но Вы разве её используете? А ведь для того, чтобы отображать точки локальной области любой поверхности для задания многообразия, надо эти точки надо как-то перенумеровать. Ладно, тогда на элементарном примере будет понятнее, а то за общими рассуждениями не видно самых элементарных, но основных моментов.
Вот Вам пример:
Дана прямая на плоскости Лобачевского. На этой прямой отложен отрезок. Назовём этот отрезок ЕДИНИЦЕЙ, или МЕТР. Есть прямоугольные оси координат P, Q.
Начало отрезка имеет координаты 0, 0.
Конец отрезка имеет некие координаты p, q.
Вы пишите, что считаете метр родной единицей измерения расстояния, в пространстве с не евклидовой геометрией? Я же пишу, что метр - это чуждая данному пространству единица.
Спор решить легко:
Вот отложите этот метр в абстрактном пространстве на этой прямой ещё раз с помощью координат. Что-то мне говорит, что у Вас ничего не получится.

[trianon]

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Но так как метр чужд нашему физическому пространству, то в метрах скорость света переменна.

А в футах, ярдах или вёрстах?
Какая единица измерения длинны по вашему, наиболее естественна?

[Munin]

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Но так как метр чужд нашему физическому пространству

Это вы с чего взяли? Он всяким абстрактным пространствам чужд, а нашему физическому - как раз родней не бывает.

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Я пишу не о том, что на рулетке что-то там меняется, а о том, что свет не должен лететь с постоянной скоростью в единицах чуждых данному пространству.

Это было бы верно, если бы метр "был чужд". Не знаю, отчего вы вбили себе это в голову, но это абсолютно неверно.

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Хорошо, не буду спорить, что некоторые многообразия могут быть построены на поверхностях с проективной геометрией, но Вы разве её используете?

Как раз нет. Используются пространства "с метром". И поэтому ваши фантазии о проективной геометрии не имеют отношения к вопросу о том, "чужд" метр физическому пространству, или "не чужд".

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

А ведь для того, чтобы отображать точки локальной области любой поверхности для задания многообразия, надо эти точки надо как-то перенумеровать.

Верно. Перенумеровать - надо. Для этого вводится система координат. Но система координат ещё ничего (ну почти ничего) не говорит о форме многообразия, а говорит о нём - функция метрики, метрический тензор $g_{\mu\nu}(x^0,x^1,x^2,x^3).$ И эта функция как раз переводит координаты в метры.

Так что, как только мы задаём конкретное многообразие, его форму и искривление, то в ту же секунду мы обладаем метрами, не "чуждыми" этому многообразию, а "родными", и встроенными в саму его структуру.

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Ладно, тогда на элементарном примере будет понятнее, а то за общими рассуждениями не видно самых элементарных, но основных моментов.
Вот Вам пример:
Дана прямая на плоскости Лобачевского. На этой прямой отложен отрезок. Назовём этот отрезок ЕДИНИЦЕЙ, или МЕТР. Есть прямоугольные оси координат P, Q.
Начало отрезка имеет координаты 0, 0.
Конец отрезка имеет некие координаты p, q.

Этот пример ошибочен с самого начала. Нет какой-то "плоскости Лобачевского вообще". Плоскость Лобачевского - это такая же вещь, как и сферическая геометрия (или Римана = эллиптическая, не путать с римановой). А значит, для неё есть радиус кривизны, или просто радиус. Поэтому перепишем ваш пример так:

Дана плоскость Лобачевского радиуса $R.$ Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложен отрезок. Зная $R,$ мы можем измерить длину этого отрезка однозначно. А не можем объявить её какой захотим.

...Что, не нравится? Тогда вот другой вариант:

Дана плоскость Лобачевского радиуса $R.$ Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложим отрезок длиной 1. Зная $R,$ мы можем отложить отрезок заданной длины однозначно. А не можем объявить её какой захотим.

...Опять не нравится? Тогда можно пойти наоборот:

Дана плоскость Лобачевского неизвестного радиуса. Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложим отрезок длиной 1. Теперь, зная этот отрезок, можно найти радиус всей плоскости Лобачевского (например, построив равносторонний треугольник со стороной 1, и измерив его углы).

Все эти варианты - очевидные аналоги соответствующих построений на сфере (известного или неизвестного радиуса).

Теперь, что такое "прямоугольные оси координат"??? На плоскости Лобачевского нет и не может быть прямоугольной системы координат! На сфере же их нет! Есть только сферические координаты (за вычетом радиальной координаты), полярные координаты, и некоторые другие. Аналогично и на плоскости Лобачевского, она ведь тоже неплоская.

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Спор решить легко:
Вот отложите этот метр в абстрактном пространстве на этой прямой ещё раз с помощью координат. Что-то мне говорит, что у Вас ничего не получится.

Легко. Вот только придётся немножко исправить ваши ошибки. Заменим "прямоугольную систему координат" на полярную. Её координаты будут $r,\varphi.$ Допустим, наш отрезок находится на прямой $\varphi=0$ и занимает промежуток $r\in[0,1].$ Теперь мы можем отложить отрезок такой же длины вдоль любого радиального луча $\forall\varphi,$ и от любой начальной точки: это будет $r\in[r_0,r_0+1].$ Если вас не устраивает, что мы не покрыли всех возможных взаимных расположений двух отрезков, можем покрыть и все: достаточно сместить начало полярной системы координат вдоль заданного отрезка в произвольную точку, и в частности, в точку пересечения прямых, на которых лежат заданный и искомый отрезки. Если эти две прямые не пересекаются, то перенести метр можно в два приёма.

Но я не уверен, что вы это всё поймёте, потому что не уверен, что вы вообще знаете геометрию Лобачевского. Вы такое пишете, что будто её не знаете.

[ivanhabalin]

Munin в сообщении #794422 писал(а):

Но я не уверен, что вы это всё поймёте,

Я тоже. Какая скорость? Свет, вроде градиент напряжённости поля и ни куда не движется. Через сек. будет градиент на расстоянии 300 тыс. км. и только. Что бы двигаться, нужно что бы было, что то материальное, а что в этом случае?

[Munin]

ivanhabalin в сообщении #794447 писал(а):

Какая скорость? Свет, вроде градиент напряжённости поля и ни куда не движется.

ivanhabalin в сообщении #794447 писал(а):

Что бы двигаться, нужно что бы было, что то материальное

Двигаться может и точка по бумаге.

[trianon]

ivanhabalin в сообщении #794447 писал(а):

Что бы двигаться, нужно что бы было, что то материальное, а что в этом случае?

Ну хотя бы фотоны...

[igorelki]

: "igorelki": "Но так как метр чужд нашему физическому пространству"
"Munin"
Это вы с чего взяли? Он всяким абстрактным пространствам чужд, а нашему физическому - как раз родней не бывает."
С точностью до наоборот, так как наше родное пространство искривлено, а метр с помощью координат Вы так и не смогли задать. И. видимо, про бельтрамиевы координаты, даже не слышали, а пишите что-то, не понимая смысла.

Munin в сообщении #794422 писал(а):

Это было бы верно, если бы метр "был чужд". Не знаю, отчего вы вбили себе это в голову, но это абсолютно неверно.

С точностью до наоборот, так как наше родное пространство искривлено, а метр с помощью координат Вы так и не смогли задать. И. видимо, про бельтрамиевы координаты, даже не слышали, а пишите что-то, не понимая смысла.

"Munin": "Как раз нет. Используются пространства "с метром". И поэтому ваши фантазии о проективной геометрии не имеют отношения к вопросу о том, "чужд" метр физическому пространству, или "не чужд"."

Пространства с метром используются при отображении неевклидового пространства в пространстве $R_n$ В сами-то локальных областях этого пространства метра нет и быть не может.

"Munin": "Верно. Перенумеровать - надо. Для этого вводится система координат. Но система координат ещё ничего (ну почти ничего) не говорит о форме многообразия, а говорит о нём - функция метрики, метрический тензор $g_{\mu\nu}(x^0,x^1,x^2,x^3).$ И эта функция как раз переводит координаты в метры.
Так что, как только мы задаём конкретное многообразие, его форму и искривление, то в ту же секунду мы обладаем метрами, не "чуждыми" этому многообразию, а "родными", и встроенными в саму его структуру."

Что Вы докопались до многообразия и его формы и искривления. Рассмотрите одну карту.Вот каждой локальной области по отдельности метр и чужд. Вот и всё.

Munin в сообщении #794422 писал(а):

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Ладно, тогда на элементарном примере будет понятнее, а то за общими рассуждениями не видно самых элементарных, но основных моментов.
Вот Вам пример:
Дана прямая на плоскости Лобачевского. На этой прямой отложен отрезок. Назовём этот отрезок ЕДИНИЦЕЙ, или МЕТР. Есть прямоугольные оси координат P, Q.
Начало отрезка имеет координаты 0, 0.
Конец отрезка имеет некие координаты p, q.

Этот пример ошибочен с самого начала. Нет какой-то "плоскости Лобачевского вообще". Плоскость Лобачевского - это такая же вещь, как и сферическая геометрия (или Римана = эллиптическая, не путать с римановой). А значит, для неё есть радиус кривизны, или просто радиус. Поэтому перепишем ваш пример так:

Дана плоскость Лобачевского радиуса $R.$ Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложен отрезок. Зная $R,$ мы можем измерить длину этого отрезка однозначно. А не можем объявить её какой захотим.

Вот вот, измерьте пожалуйста "длину" с помощью R, а мы посмеёмся тем более, что длины не существует на плоскости Лобачевского.
Мы вообще-то рассматриваем абстрактный пример, поэтому плоскость Лобачевского есть, что бы Вы там не писали. Кроме того, если хотите физическое пространство, то можно написать, просто плоскость, а как предполагаем на ней всё измеряется с помощью геометрии Лобачевского. С какой такой радости, что евклида?

Munin в сообщении #794422 писал(а):

...Что, не нравится? Тогда вот другой вариант:

Дана плоскость Лобачевского радиуса $R.$ Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложим отрезок длиной 1. Зная $R,$ мы можем отложить отрезок заданной длины однозначно. А не можем объявить её какой захотим.

Вот вот, опять не верно - мы не можем отложить отрезок равный какой-то единице произвольно. Мы просто откладываем отрезок, который даёт угол параллельности, например, $\frac{\pi}{4}$, а далее уже этот отрезок распространяем построением на всю плоскость (или локальную область плоскости) Лобачевского, а не выбираем какой-то метр. Далее по Вашему неизвестным способом Вы вдруг знаете какую-то

Munin в сообщении #794422 писал(а):

...Опять не нравится? Тогда можно пойти наоборот:

Дана плоскость Лобачевского неизвестного радиуса. Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложим отрезок длиной 1. Теперь, зная этот отрезок, можно найти радиус всей плоскости Лобачевского (например, построив равносторонний треугольник со стороной 1, и измерив его углы).

Опять у Вас ошибка: с чего это Вы вдруг "знаете" отрезок равный 1, Вы его-то с помощью координат то построить не можете, не то, что "знать".

Munin в сообщении #794422 писал(а):

Все эти варианты - очевидные аналоги соответствующих построений на сфере (известного или неизвестного радиуса).

Теперь, что такое "прямоугольные оси координат"??? На плоскости Лобачевского нет и не может быть прямоугольной системы координат! На сфере же их нет! Есть только сферические координаты (за вычетом радиальной координаты), полярные координаты, и некоторые другие. Аналогично и на плоскости Лобачевского, она ведь тоже неплоская.

Не нравится Вам слова "прямоугольная система координат", ну рассмотрите систему координат (на плоскости Лобачевского) со взаимно перпендикулярными осями координат. Только не надо выдумывать, что такого не бывает - народ не смешите.

igorelki в сообщении #794293 писал(а):

Спор решить легко:
Вот отложите этот метр в абстрактном пространстве на этой прямой ещё раз с помощью координат. Что-то мне говорит, что у Вас ничего не получится.

Munin в сообщении #794422 писал(а):

Легко. Вот только придётся немножко исправить ваши ошибки. Заменим "прямоугольную систему координат" на полярную. Её координаты будут $r,\varphi.$ Допустим, наш отрезок находится на прямой $\varphi=0$ и занимает промежуток $r\in[0,1].$ Теперь мы можем отложить отрезок такой же длины вдоль любого радиального луча $\forall\varphi,$ и от любой начальной точки: это будет $r\in[r_0,r_0+1].$ Если вас не устраивает, что мы не покрыли всех возможных взаимных расположений двух отрезков, можем покрыть и все: достаточно сместить начало полярной системы координат вдоль заданного отрезка в произвольную точку, и в частности, в точку пересечения прямых, на которых лежат заданный и искомый отрезки. Если эти две прямые не пересекаются, то перенести метр можно в два приёма.

Но я не уверен, что вы это всё поймёте, потому что не уверен, что вы вообще знаете геометрию Лобачевского. Вы такое пишете, что будто её не знаете.

Во-первых, не надо придумывать относительно полярной системы координат: угол Вы тоже построением или с помощью первоначальных координат метра измерять будете?
Во-вторых, что-то я так и не увидел, как Вы откладываете построением или с помощью координат метр на плоскости Лобачевского на произвольной прямой, при этом пишите координаты концов нового отрезка. Поэтому ещё неизвестно, кто там не знает геометрию.
В-третьих, естественно, Вас понять не сможет ни кто, так как понятия длины для плоскости Лобачевского не существует - это чисто евклидово определение размера.

[Someone]

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Не нравится Вам слова "прямоугольная система координат", ну рассмотрите систему координат (на плоскости Лобачевского) со взаимно перпендикулярными осями координат. Только не надо выдумывать, что такого не бывает - народ не смешите.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Вот вот, измерьте пожалуйста длину с помощью координат, а мы посмеёмся.

Как только Вы совершенно точно свою систему координат определите, так мы и посмеёмся измерим длину. Пока мы только слышали, что в ней есть две взаимно перпендикулярные оси. Всё остальное скрыто во мраке Вашего сознания.

Кстати, понятие длины в геометрии Лобачевского (как и в геометрии Евклида) есть, так что откладывать на любой прямой отрезки любой заданной длины мы имеем полное право.

[Munin]

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

С точностью до наоборот, так как наше родное пространство искривлено, а метр с помощью координат Вы так и не смогли задать.

Смог. $dl=\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu},\quad\int dl=1\text{ м},\quad\delta\!\int dl=0.\qquad\qquad(*)$

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Пространства с метром используются при отображении неевклидового пространства в пространстве $R_n$ В сами-то пространствах метра нет и быть не может.

Может, см. $(*).$

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Что Вы докопались до многообразия и его формы и искривления. Рассмотрите одну карту.Вот каждой локальной области по отдельности метр и чужд. Вот и всё.

Карту нельзя рассматривать по отдельности от тех точек многообразия, которым она соответствует, и заданной на них функции метрического тензора. В каждой локальной области возможно вычислить $(*).$ Вот и всё.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Munin в сообщении #794422 писал(а):

Дана плоскость Лобачевского радиуса $R.$ Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложен отрезок. Зная $R,$ мы можем измерить длину этого отрезка однозначно. А не можем объявить её какой захотим.

Вот вот, измерьте пожалуйста длину с помощью координат, а мы посмеёмся.

Я не вводил (в цитируемом вами абзаце) на плоскости Лобачевского никаких координат. Так что, ваш выпад - демагогия.

Но я могу измерить длину с помощью координат. Введём полярные координаты $(r,\varphi).$ Тогда метрика плоскости Лобачевского с радиусом $R$ выглядит так:

$$dl^2=dr^2+R^2\sh^2(r/R)d\varphi^2.$$

Геодезические имеют вид

$$r=R\operatorname{arch}\dfrac{C\cos(\varphi-\varphi_0)}{\sqrt{1-C^2\sin^2(\varphi-\varphi_0)}\,},$$

где $C$ и $\varphi_0$ - константы, которые могут быть вычислены подстановкой концов отрезка в формулу геодезической. После их вычисления, отрезки геодезических от точки с координатами $(R\operatorname{arch}C,\varphi_0)$ до произвольной точки на геодезической имеют длину

$$l=R\operatorname{arsh}\dfrac{\sqrt{C^2-1}\sin(\varphi-\varphi_0)}{\sqrt{1-C^2\sin^2(\varphi-\varphi_0)}\,}.$$

Вычтя две таких длины, можно найти длину любого отрезка геодезической. Проверку этих результатов подстановкой в уравнение геодезических и сравнением с метрикой оставляю вам.

Можете смеяться. Если справитесь. И если найдёте ошибку. А у себя ошибок не наделаете.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Вот вот, опять не верно - мы не можем отложить отрезок равный какой-то единице произвольно.

Вам надо вспомнить аксиомы геометрии Лобачевского.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Мы просто откладываем отрезок, который даёт угол параллельности, например, $\frac{\pi}{4}$

Можно выбирать угол параллельности, и исходя из него, выбирать длину отрезка, а можно наоборот, отложить отрезок заданной длины, и для него получить угол параллельности. Он будет равен $\arcsin\bigl(\ch(l/R)\bigr)^{-1}.$

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Далее по Вашему неизвестным способом Вы вдруг знаете какую-то "длину" в координатах и опять только Вам известным способом как-то распространяете на всю локальную область плоскости Лобачевского.

Во-первых, способ известен, и описан во всех учебниках. Во-вторых, не "знаю "длину" в координатах", а могу вычислить длину, зная координаты (и наоборот, получить координаты, зная длины и углы). И способ, которым я распространяю длину, я описал, так что он неизвестен вам только в случае, если вы не умеете читать.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Во-первых, не надо придумывать относительно полярной системы координат: угол Вы тоже построением или с помощью первоначальных координат метра измерять будете?

Угол можно измерять построением, дифференциально. Откладывается бесконечно малая окружность, и делится на $2\pi$ частей, тогда каждая такая часть даёт угол 1 радиан.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Во-вторых, что-то я так и не увидел, как Вы откладываете построением или с помощью координат метр на плоскости Лобачевского на произвольной прямой, при этом пишите координаты концов нового отрезка. Поэтому ещё неизвестно, кто там не знает геометрию.

Бескоординатный способ построения я описал в процитированном вами сообщении, так что вы что-то не увидели только из-за слепоты или неумения читать. А с помощью координат - описал в этом сообщении, и как можно получить координаты концов нового отрезка - тоже.

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

В-третьих, естественно, Вас понять не сможет ни кто, так как понятия длины для плоскости Лобачевского не существует - это чисто евклидово определение размера.

Если вы откроете Математическую Энциклопедию, то легко найдёте там понятие радиуса кривизны для геометрии Лобачевского, и формулы, связывающие его с длиной отрезков. Так что меня сможет понять любой математик.

А вот откуда у вас возникли ваши ложные и фантастические представления о плоскости Лобачевского - мне неизвестно. Явно не из учебников.

[igorelki]

Munin в сообщении #795806 писал(а):

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

С точностью до наоборот, так как наше родное пространство искривлено, а метр с помощью координат Вы так и не смогли задать.

Смог. $dl=\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu},\quad\int dl=1\text{ м},\quad\delta\!\int dl=0.\qquad\qquad()$

Не надо увиливать. Вам я написал конкретный пример с конкретными координатами. И если Вы всё-таки напишите координаты произвольного отрезка между точками, расстояние между, которыми 1 метр, то Вы увидите, что написано очень громоздкое выражение, использовать которое невозможно, если его использовать для арифметизации локальной области.
И понимаете слово РАССТОЯНИЕ между точками (на плоскости Лобачевского), а не длина, как Вы тут пытаетесь написать. Хотя это просто слово и сути не меняет. А длина - это слово используют, когда рассматривают отрезки кривых (которые отрезки прямых на плоскости Лобачевского) в $R_n$ .

Munin в сообщении #795806 писал(а):

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Пространства с метром используются при отображении неевклидового пространства в пространстве $R_n$ В сами-то пространствах метра нет и быть не может.

Может, см. $().$

Надо не просто отрезок кривой иметь, длина которого при распрямлении будет 1 метр. Имеется в виду единица измерения, которй можно задавать координаты.

Munin в сообщении #795806 писал(а):

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Что Вы докопались до многообразия и его формы и искривления. Рассмотрите одну карту.Вот каждой локальной области по отдельности метр и чужд. Вот и всё.

Карту нельзя рассматривать по отдельности от тех точек многообразия, которым она соответствует, и заданной на них функции метрического тензора. В каждой локальной области возможно вычислить $().$ Вот и всё.

А кто тут что то рассматривает отдельно? Пусть себе точки там соответствуют чему-то в $R_n$ и пусть там себе метрический тензор существует, он-то нам пока не нужен. Мы точки-то пока арифметизировать не можем, это уже потом мы их отображать будем.

Munin в сообщении #794422 писал(а):

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Дана плоскость Лобачевского радиуса $R.$ Дана прямая на этой плоскости. На этой прямой отложен отрезок. Зная $R,$ мы можем измерить длину этого отрезка однозначно. А не можем объявить её какой захотим.
Вот вот, измерьте пожалуйста длину с помощью координат, а мы посмеёмся.

Я не вводил (в цитируемом вами абзаце) на плоскости Лобачевского никаких координат. Так что, ваш выпад - демагогия.

А зря не вводили. Как интересно Вы точки отображали в $R_n$? То есть брали неизвестно где расположенную точку и отображали? Так что демагог не я.

Munin в сообщении #795806 писал(а):

Но я могу измерить длину с помощью координат.
……………………………………………………….
Проверку этих результатов подстановкой в уравнение геодезических и сравнением с метрикой оставляю вам.
Можете смеяться. Если справитесь. И если найдёте ошибку. А у себя ошибок не наделаете.

Я Вам верю, поэтому проверять не буду. Вопрос в другом, чтобы получить метрику и т д. Вам надо было ввести отображение с помощью гомеоморфизмов. А как Вы вводили это отображение, если у вас не арифметизирована Ваша локальная область и, как Вы пишите: «Я не вводил (в цитируемом вами абзаце) на плоскости Лобачевского никаких координат. Так что, ваш выпад - демагогия.» .

Munin в сообщении #795806 писал(а):

igorelki в сообщении #795752 писал(а):

Во-первых, не надо придумывать относительно полярной системы координат: угол Вы тоже построением или с помощью первоначальных координат метра измерять будете?

Угол можно измерять построением, дифференциально. Откладывается бесконечно малая окружность, и делится на $2\pi$ частей, тогда каждая такая часть даёт угол 1 радиан.

Чисто математически это было бы так, но при описании физических процессов надо учитывать некоторое ограничение дробления. Например, метра, который можно дробить где-то до величин $10^{-44}$ и всё было бы хорошо, если бы не было взаимодействий меньше электрических на величину $10^{-43}$. Так что не проходит Ваше дробление для физики.
Кроме того Вы, наверно. Не обратили внимание, как меняется Ваша $dl$ при изменении $r$ и $ \varphi$?

[warlock66613]

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

А длина - это слово используют, когда рассматривают отрезки кривых

Вы так говорите, как будто прямые - не кривые.

-- 03.12.2013, 22:00 --

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

при описании физических процессов надо учитывать некоторое ограничение дробления

При описании физических процессов надо не отрываться от физики. Если вам нужно померить расстояние между двумя галактиками, метром больше, метром меньше - не важно, так что трудности с его делением идут мимо.

[Someone]

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Не надо увиливать. Вам я написал конкретный пример с конкретными координатами.

К сожалению, Вы свои "конкретные координаты" конкретно не определили. Поэтому в Вашем "конкретном примере" ничего конкретно определить нельзя.

[Munin]

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Не надо увиливать. Вам я написал конкретный пример с конкретными координатами.

Где?

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

И если Вы всё-таки напишите координаты произвольного отрезка между точками, расстояние между, которыми 1 метр

Уже написал.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

то Вы увидите, что написано очень громоздкое выражение, использовать которое невозможно

А это неважно, громоздкое или не громоздкое. Важно, что это выражение принципиально существует (пусть даже оно существует как неберущийся интеграл или как решение неинтегрируемого уравнения). Значит, расстояния и метры на плоскости Лобачевского присутствуют.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

И понимаете слово РАССТОЯНИЕ между точками (на плоскости Лобачевского), а не длина, как Вы тут пытаетесь написать.

Расстояние - это длина геодезической.
Длина кривой - это сумма расстояний между точками на кривой, выбранными достаточно близко, чтобы участки между ними можно было считать геодезическими. В пределе - интеграл: $l=\int dl.$
Если есть расстояния - то есть и длины. Если есть длины, то чаще всего, есть и расстояния.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Надо не просто отрезок кривой иметь, длина которого при распрямлении будет 1 метр. Имеется в виду единица измерения, которй можно задавать координаты.

Координаты задаются не единицей измерения. Но при желании их можно привязать к единице измерения: я, например, привязал полярные координаты $(r,\varphi)$ к метру так, что любой радиальный отрезок координатной длины $l$ имеет метрическую длину $l.$ Можно это сделать и с двумя координатами, но только так, чтобы это выполнялось только для отрезков линий сетки координат. А вот так, чтобы это выполнялось для произвольно повёрнутых отрезков - нельзя. Метрический тензор можно привести к виду, в котором на диагонали будут стоять единицы. Но при этом не будет выполнено требование, что недиагональные члены будут нули. Если бы недиагональные члены были нулями - метрический тензор был бы единичным, а это возможно только на (локально) евклидовой плоскости, без кривизны. Это сужает рассматриваемые геометрии и несовместимо уже с геометрией Лобачевского. А простое приведение к виду с единицами на диагонали - возможно чисто координатным преобразованием, и рассматриваемых геометрий не сужает.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Пусть себе точки там соответствуют чему-то в $R_n$ и пусть там себе метрический тензор существует, он-то нам пока не нужен. Мы точки-то пока арифметизировать не можем, это уже потом мы их отображать будем.

Из-за того, что вы говорите, что вам что-то не нужно, вы ничего и не можете. А математики, которые не отказываются от того, что имеют, - всё могут.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

А зря не вводили. Как интересно Вы точки отображали в $R_n$? То есть брали неизвестно где расположенную точку и отображали? Так что демагог не я.

Я не вводил = я не отображал ничего в $\mathbb{R}^n.$ Система координат - это и есть отображение в $\mathbb{R}^n.$ Точка была известно где расположена - в неё можно ткнуть карандашом. А вот в $\mathbb{R}^n$ отображения не было. Так что обвинение ваше ложно по всем пунктам, и демагог по-прежнему вы.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Я Вам верю, поэтому проверять не буду.

Значит, идиотский смех отменяется?

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Вопрос в другом, чтобы получить метрику и т д. Вам надо было ввести отображение с помощью гомеоморфизмов.

Почему это вдруг? Гомеоморфизмы тут ни с какого боку не нужны. Плоскость Лобачевского здесь не рассматривается со стороны дифференциальной топологии. Только со стороны дифференциальной геометрии.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

А как Вы вводили это отображение, если у вас не арифметизирована Ваша локальная область и, как Вы пишите: «Я не вводил (в цитируемом вами абзаце) на плоскости Лобачевского никаких координат. Так что, ваш выпад - демагогия.»

Вы примечание "в цитируемом вами абзаце" видите? Или вы его цитируете, но не видите? В одном абзаце (к которому вы придрались) у меня системы координат ещё не было. В другом, последующем, - уже была. Нормальная, качественная, годная система координат, а не то что ваша вымышленная, в реальности не существующая система P, Q.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Чисто математически это было бы так, но при описании физических процессов надо учитывать некоторое ограничение дробления.

А мы здесь и говорим про чистую математику. Плоскость Лобачевского - это чисто математический объект, а в физике он не существует.

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Кроме того Вы, наверно. Не обратили внимание, как меняется Ваша $dl$ при изменении $r$ и $ \varphi$?

Как это не обратил, если я сам это и задал?

[igorelki]

Munin в сообщении #796045 писал(а):

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

И понимаете слово РАССТОЯНИЕ между точками (на плоскости Лобачевского), а не длина, как Вы тут пытаетесь написать.

Расстояние - это длина геодезической.
Длина кривой - это сумма расстояний между точками на кривой, выбранными достаточно близко, чтобы участки между ними можно было считать геодезическими. В пределе - интеграл: $l=\int dl.$
Если есть расстояния - то есть и длины. Если есть длины, то чаще всего, есть и расстояния.

А геодезические Вы где рассматриваете? Правильно - в пространстве с геометрией евклида (там-то как раз длина есть), а я Вам пишу про пространство с геометрией Лобачевского и длины там нет и свет ничего не знает о Ваших рассмотрениях, когда перемещается сигнал.

Munin в сообщении #796045 писал(а):

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

то Вы увидите, что написано очень громоздкое выражение, использовать которое невозможно

А это неважно, громоздкое или не громоздкое. Важно, что это выражение принципиально существует (пусть даже оно существует как неберущийся интеграл или как решение неинтегрируемого уравнения). Значит, расстояния и метры на плоскости Лобачевского присутствуют.

Точно, присутствуют и все разные. Посмотрите на вашу же формулу там есть зависимость от угла и расстояния до точки. Вы сами писали, что знаете об этом:

Munin в сообщении #796045 писал(а):

igorelki в сообщении #795865 писал(а):

Кроме того Вы, наверно. Не обратили внимание, как меняется Ваша $dl$ при изменении $r$ и $ \varphi$?

Как это не обратил, если я сам это и задал?

Кроме того у меня ведь задача-то и была показать, что метр меняется для разных участков пространства, что Вы и показали.