Помогите решить рекуррентное соотношение.

[rabbit_will_run]

Помогите, пожалуйста, найти общую формулу для следующей рекуррентки.

$$a_k = \dfrac {a_{k-1} + 2^l(p-1)}{p}$$

Сам до этого с ними почти не встречался, не знаю, как подступиться.

[provincialka]

Попробуйте сделать замену $a_k=b_k+c$, причем $c$ подберите так, чтобы в уравнении исчез свободный член.

[rabbit_will_run]

Я делаю замену следующим образом $b_k = a_k + c$, где $c = 2^l(p-1)$. Отсюда получаю: $b_k - c = \dfrac{b_{k-1}}{p}$.
Решая последнее, получаю \begin{multline} b_k = \dfrac{b_1}{p^{k-1}} + (\dfrac{c}{p^{k-2}} + \dfrac{c}{p^{k-3}} + ... + \dfrac{c}{p} + c) =\\= \dfrac{b_1}{p^{k-1}} + \dfrac{(p^{k-1} - 1)}{(p-1)(p^{k-2})} \cdot c =\\= \dfrac{a_1+c}{p^{k-1}} + \dfrac{(p^{k-1} - 1)}{(p-1)(p^{k-2})} \cdot c = \dfrac {p^kc + a_1(p-1) - c}{(p-1)(p^{k-1})}$ \end{multline} Далее, т.к. $c = 2^l(p-1)$, имеем: $b_k = \dfrac {p^kc + a_1(p-1) - c}{(p-1)(p^{k-1})} = \dfrac {p^k \cdot 2^l +a_1 - 2^l}{p^{k-1}} = \dfrac {2^l (p^k-1)+a_1}{p^{k-1}}$

Cкажите, всё ли верно в моих рассуждениях?

[Ms-dos4]

rabbit_will_run
Это далеко не лучший способ выбрать c. Намного эффективнее $\[c = {2^l}\]$

[svv]

$a_k = \dfrac {a_{k-1} + 2^l(p-1)}{p}$
$a_k = \dfrac {a_{k-1} - 2^l}{p}+2^l$
$a_k-2^l = \dfrac 1 p (a_{k-1} - 2^l)$

[iifat]

Недопол.

rabbit_will_run в сообщении #796421 писал(а):

$$a_k = \dfrac {a_{k-1} + 2^l(p-1)}{p}$$

Вы ничего не забыли? У вас тут написано, по сути, $a_k=ba_{k-1}+c$, где $b, c$ — константы, я правильно понял? Тогда ж всё как-то слишком просто:
$\begin{cases}a_{k+1}=ba_k+c&a_{k+1}=ba_k+a_k-ba_{k-1} \\a_k=ba_{k-1}+c&c=a_k-ba_{k-1}\end{cases}$
И мы имеем банальнейшую рекуррентную последовательность с постоянными коэффициентами.

-- 05.12.2013, 10:02 --

(Разумеется, для частных случаев констант можно бывает подобрать частный, более простой метод. Хотя при такой простоте общего — стоит ли?)

[Евгений Машеров]

А l здесь постоянное, которое в $2^l$?

[rabbit_will_run]

Евгений Машеров
Вы правы, $l$ здесь не постоянное. Сам не сразу заметил, теперь исправляюсь. Стало понятно, почему при попытке свести к банальным рекуррентным соотношениям, выходили неверные ответы.
$l$ каждый раз увеличивается в $p$ раз. Я не знаю, как это лучше записать, но, возможно, так:
$a_n = \dfrac {a_{n-1} + 2^{lp^{k-n}}(p-1)}{p}$
При этом, найти всё ещё надо член последовательности $a_k$

[provincialka]

Если $l$ увеличивается, почему же у вас в показателе $n$ с минусом? Или оно увеличивается не при переходе к новому номеру? Каков смысл этого $k$? Вы не перепутали обозначения?

У вас что, задача была устно сформулирована?

[rabbit_will_run]

provincialka
Нет, задача возникла в ходе решения исследовательской задачи. $l$ увеличивается при уменьшении $n$, т.е. по сути уменьшается.