Функция Грина

[Le'an]

Добрый день!
Пытаюсь решить краевую задачу с помощью функции Грина. Задача такая:

$$y'' + y' = f(x), y(0) = 0, y'(1) = 0.$$

Функцию Грина получилось найти, она имеет следующий вид:

$$G(x,s) = \left\{% \begin{array}{ll} e^s(e^{-x}-1), & 0 \leqslant x \leqslant s \\ 1 - e^s, & s \leqslant x \leqslant 1 \\ \end{array}% \right. $$

С ответом в задачнике (автор Филиппов) сошлось, вроде всё хорошо. Но я решил взять конкретную функцию $f(x)$ и попробовать найти решение по формуле

$$y(x) = \int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds.$$

Для простоты выбрал функцию $f(x) = e^{-x}$.

Считаю интеграл:

$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds + \int\limits_{x}^{1} (1 - e^s)e^{-s} ds = $$

$$= xe^{-x} + e^{-x} - e^{-1} - 1.$$

Но

$$y(x) = xe^{-x} + e^{-x} - e^{-1} - 1$$

не удовлетворяет краевым условиям. При интегрировании я обнулил константу интегрирования - если сделать её равной $e^{-1}$, то первое условие выполнится. Но второе условие $y'(1) = 0$ не выполняется никак. Подскажите пожалуйста, где в рассуждениях допущена ошибка?

[Otta]

Le'an в сообщении #796441 писал(а):

Считаю интеграл:

$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds + \int\limits_{x}^{1} (1 - e^s)e^{-s} ds = $$

Первый интеграл: $s\le x$. Чему там равна функция Грина? И второй - то же.

[Le'an]

Otta в сообщении #796461 писал(а):

Le'an в сообщении #796441 писал(а):

Считаю интеграл:

$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds + \int\limits_{x}^{1} (1 - e^s)e^{-s} ds = $$

Первый интеграл: $s\le x$. Чему там равна функция Грина? И второй - то же.

Точно, должно же быть наоборот, тогда получится

$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} (1 - e^s)e^{-s} ds + \int\limits_{x}^{1} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds = -xe^{-x}.$$

Otta, большое спасибо!