2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функция Грина
Сообщение04.12.2013, 23:36 
Добрый день!
Пытаюсь решить краевую задачу с помощью функции Грина. Задача такая:
$$y'' + y' = f(x), y(0) = 0, y'(1) = 0.$$

Функцию Грина получилось найти, она имеет следующий вид:

$$G(x,s) = \left\{%
\begin{array}{ll}
    e^s(e^{-x}-1), & 0 \leqslant x \leqslant s \\
    1 - e^s, & s \leqslant x \leqslant 1 \\
\end{array}%
\right.    $$

С ответом в задачнике (автор Филиппов) сошлось, вроде всё хорошо. Но я решил взять конкретную функцию $f(x)$ и попробовать найти решение по формуле
$$y(x) = \int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds.$$

Для простоты выбрал функцию $f(x) = e^{-x}$.

Считаю интеграл:
$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds +  \int\limits_{x}^{1} (1 - e^s)e^{-s} ds = $$
$$= xe^{-x} + e^{-x} - e^{-1} - 1.$$
Но $$y(x) = xe^{-x} + e^{-x} - e^{-1} - 1$$ не удовлетворяет краевым условиям. При интегрировании я обнулил константу интегрирования - если сделать её равной $e^{-1}$, то первое условие выполнится. Но второе условие $y'(1) = 0$ не выполняется никак. Подскажите пожалуйста, где в рассуждениях допущена ошибка?

 
 
 
 Re: Функция Грина
Сообщение05.12.2013, 01:13 
Le'an в сообщении #796441 писал(а):
Считаю интеграл:
$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds +  \int\limits_{x}^{1} (1 - e^s)e^{-s} ds = $$

Первый интеграл: $s\le x$. Чему там равна функция Грина? И второй - то же.

 
 
 
 Re: Функция Грина
Сообщение05.12.2013, 07:01 
Otta в сообщении #796461 писал(а):
Le'an в сообщении #796441 писал(а):
Считаю интеграл:
$$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds +  \int\limits_{x}^{1} (1 - e^s)e^{-s} ds = $$

Первый интеграл: $s\le x$. Чему там равна функция Грина? И второй - то же.


Точно, должно же быть наоборот, тогда получится $$\int\limits_{x_0}^{x_1} G(x,s) f(s) ds = \int\limits_{0}^{x} (1 - e^s)e^{-s} ds +  \int\limits_{x}^{1}  e^s(e^{-x}-1)e^{-s} ds = -xe^{-x}.$$

Otta, большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group