статистика

[_3op9l]

Матричное уравнение $Ax=y$

Дано: $A, b$ (среднее значение $y$) , $eps$ (станд откл для $y$).
Найти: $x$.



Я вместо каждого $i$-го компонента правой части сделала строку значений в интервале $[b_i - \varepsilon_i, b_i + \varepsilon_i] $ и
создала для каждого соответствующую строку весов $w_i$.

С учетом весов случайным образом выбираю значение из интервала. Так для каждого $i$-го
интервала. Собираю эти компоненты в вектор правых частей, решаю уравнение, получаю вектор решений $x$ и

вектор его погрешностей, которые появляются при решении уравнения (матрица $A$ размерностью $m*n, m>n$)

Случайным образом формирую следующий вариант,..., и так $k$ раз.
Из множества $\{x_j\}_{j=1}^{j=k}$ лучшим решением считаю то, у которого сумма ошибок меньше.

Вопрос:
Как обосновать значение $k$ ?
Можно ли улучшить критерий выбора лучшего решения?

[provincialka]

_3op9l в сообщении #796239 писал(а):

Из множества $(x)_1^k$ лучшим решением считаю то, у которого сумма ошибок меньше.

Что означает нижний индекс? Что означают слова "сумма ошибок меньше"? Ошибка по сравнению с чем? С точным решением? С решением, соответствующим правым частям $b_i$? Постановка задачи непонятная.

[_3op9l]

Решаю систему ур-й = матричное уравнение $Ax= y$.
Известны $A, y$

$b$ = это среднее значение $y$
$\varepsilon$ = это 1sigma, погрешность $y$


$(x)_1^k$ -- множество решений от $1$ до $k$, всего $k$ штук.

[provincialka]

Это-то как раз понятно. А вот про какие ошибки вы говорите? Сумму которых вы хотите минимизировать.

Вы рассматриваете правые части как случайный вектор? Распределение компонент известно? Зависимость между ними есть? А матрица $A$ - постоянная?

Если правая часть - случайная, то решение $x$ также будет случайным вектором. Что тогда понимать под "ошибкой"? Отклонение его от какого-то "точного" значения? От его же среднего значения? Откуда взялись еще и веса?

Судя по всему, вы имитируете некоторую выборку из решений данной системы. Так?

Очень нечетко поставленная задача.

[_3op9l]

$y$ -- случайный вектор с независимыми нормальными компонентами, средним $b$ и дисперсией $\varepsilon$ известными.

У $x$ есть ошибка, которая берется при решении самого матричного уравнения.

[provincialka]

Уже лучше. Так что насчет "ошибки"? Третий раз спрашиваю!

_3op9l в сообщении #796239 писал(а):

Можно ли улучшить критерий выбора лучшего решения?

Нельзя, пока не известно, какое решение считается "лучшим".

[_3op9l]

я имитирую случайную правую часть: $k$ раз выдёргиваю случайным образом значения из интервалов и сформирую её компоненты.

_3op9l в сообщении #796239 писал(а):

... решаю уравнение, получаю вектор решений $x$ и
вектор его погрешностей, которые появляются при решении уравнений.

Из множества $(x)_1^k$ лучшим решением считаю то, у которого сумма ошибок меньше.

[provincialka]

_3op9l, вы зачем цитируете саму себя? Читать мы умеем. Думаете, во второй раз понятнее будет?

_3op9l в сообщении #796344 писал(а):

У $x$ есть ошибка, которая берется при решении самого матричного уравнения.

У-ф-ф. Ни слова не поняла. Что такое "само матричное уравнение"? И как ошибка "берется" при его решении?

Пока у меня забрезжил такой вариант понимания.
Есть детерминированное уравнение $Ax=b$. У него есть точное решение, пусть это $x^0$ (0 - это не степень, а индекс). Но, если в правой части появится ошибка (такая, как вы описали), то и решение станет случайным вектором.
Вы моделируете эту случайность (с помощью датчика случайных чисел ?), получаете выборку из решений, т.е. векторы $x^1, x^2, ..., x^k$. Каждый из них можно сравнить с точным значением $x^0$. И вы хотите найти какую-то меру сходства.

Так? Только в эту схему не вписываются веса $w_i$.

[_3op9l]

$y$ неизвестен, знаем только его среднее и отклонения от среднего, они суть $b, \varepsilon$.
Как я имитирую $y$ :

_3op9l в сообщении #796344 писал(а):

$y$ -- случайный вектор с независимыми нормальными компонентами

Для каждой компоненты $y$ строю интервал, из которого затем дёргаю значение.
Значения внутри интервала имеют не равные вероятности, всё по гауссу = веса, которые я учитываю при случайном выборе значения.
См. мой первый пост.

-- 04.12.2013, 21:48 --

Про ошибки $x$-а.
Я неточно выразилась, извините. Они "берутся" в смысле "получаются" при решении уравнения. Точного решения у уравнения нет, решения его -- это решения в смысле мнк.

[provincialka]

У-ф-ф-ф-ф-ф, где мой пуд соли. Ну и как же они получаются? Что такое в вашем понимании ошибка? Отклонение от чего? От среднего?

Вот есть $k$ векторов - решений, $x^1, x^2, ... x^k$. И как найти "ошибку"? Может, вы подставляете их в матричное уравнение и ищете $Ax^k-b$? Ну, тогда так и напишите!

_3op9l в сообщении #796371 писал(а):

Значения внутри интервала имеют не равные вероятности, всё по гауссу = веса, которые я учитываю при случайном выборе значения.

Где Гаусс и где веса... То есть веса у вас - это не числа? А что?

(Оффтоп)

У меня скоро клавиша со знаком вопроса сотрется...

Может, кто из специалистов подключится?

[_3op9l]

да, ошибка == стандартное отклонение от среднего == $1\sigma$

прошу прощения за жаргон;-)

[provincialka]

_3op9l в сообщении #796376 писал(а):

да, ошибка == стандартное отклонение от среднего $== 1\sigma$

Это еще что? Стандартное отклонение чего? Какой случайной величины?

[_3op9l]

$\varepsilon$ -- это столбец станд отклонений от среднего $b$.

Каждый $j$-тый $x$ получается в результате решения уравнения с $j$-той по счёту имитированной случайной правой частью $y$.
Всего $k$ штук имитаций $y$-а.

Каждый $j$-тый $x$ является решением в смысле мнк и поэтому имеет свою погрешность $1\sigma$.

[provincialka]

_3op9l в сообщении #796239 писал(а):

Из множества $(x)_1^k$ лучшим решением считаю то, у которого сумма ошибок меньше.

Опять непонятно, что это за множество. То которое я приводила? Или это что-то другое? Какой смысл имеет нижний индекс 1?

Судя по этой фразе, вы ищете ошибку (и даже несколько ошибок, а потом их сумму) для одного решения? Какое же может быть стандартное отклонение у одного значения?

Прочитала добавление. Слушайте, не надо слов, пишите формулы. Вот приведите формулу этой самой погрешности, полученной при решении в смысле мнк. И при чем тут мнк? Вы как систему-то решаете?

[_3op9l]

Всё совсем просто.


Матричное уравнение $Ax=y$

Дано: $A, b$ (среднее значение $y$) , $eps$ (станд откл для $y$).
Найти: $x$.





Пусть уравнение решается методом МНК.