Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности

[Tyto]

Здравствуйте!
Столкнулась с проблемой при самом начале решения(

Дана ф-я плотности $f(x y) =$ $cx+y$ , определенная на промежутке: x принадлежит $[0;1]$, $|y|<x$

При других значениях $x$ и $y$, $f(xy) =0$.


Найти с нужно через двойной интеграл

$$\iint_{-\infty}^{\infty}\ f(x, y) dx dy = 1$$

Но какие пределы интегрирования расставить? Для x понятно - от 0 до 1. А для $y$?

И как записать вероятность

$$P(X\textgreater0.5 Y\textgreater0.5)$$

,
можно ли через двойной интеграл - от 0 до $+ \infty$
или тут по аналогии с одномерными функциями, нужно от единицы отнимать?

Пожалуйста, подскажите! Завтра сдавать....

[gris]

Нарисуйте картинку. Область интегрирования хорошая. Пределы расставляются просто, как в обычном повторном интеграле.
Выражение для вероятности из второго вопроса, очевидно, надо записать как $P(X>0.5; Y>0.5)$. Хотя и в первоначальном виде оно тоже задаёт некую область. Это будет часть общей области интегрирования, и там тоже все получается несложно.

[Tyto]

gris
Cпасибо,

Область получается треугольная =>

$$\int_0^1dx \int_0^x cx+y dy$$

=>c=2.5

А интеграл для нахождения вероятности:

$$\int_{0,5}^1 dx \int\limits_ {0,5} ^{x} x\cdot 2.5+y dy $$

Правильно?

[gris]

Второе правильно (насчёт пределов интегрирования!). А в первом область интегрирования всё-таки в два раза больше. Она и под осью иксов присутствует. Игрек у нас по модулю, то есть и отрицательные значения входят. Ну там подправить чуть чуть. По игрек мы не от нули интегрируем, а пониже.

[Tyto]

gris
Спасибо вам огромное! Очень выручили.

-- 02.12.2013, 16:55 --

Выходит:

$$\int_0^1 dx \int_{-x}^{x} cx+y dy $$

=> c=3/2

[svv]

Формально $dy$ — множитель, на который умножается вся подынтегральная функция, и если она сама является суммой, её надо брать в скобки: $\int(cx+y)\,dy$.

[Tyto]

svv

Да, согласна. Не придала этому значения.

[Tyto]

Возник вот еще какой вопрос по этому примеру:

Нужно найти маргинальный ф-и плотности для x и y.
Для $f_y$ нужно ставить пределы интегрирования - от 0 до 1. А для $f_x$? Если смотреть по рисунку, то y меняется как от -1 до 1, так и от $-x$ до $x$. Какие пределы нужно ставить в таком случае? Это ведь влияет на результат сильно.

[--mS--]

И для $f_Y(y)$ пределы не от 0 до 1.

Поставьте точку $y$ на оси ординат. Проведите горизонтальную прямую через неё. По отрезку, по которому прямая пересекает треугольник, и нужно интегрировать. Например, при $y=0{,}5$ это будет отрезок от $0{,}5$ до $1$. Так же для $f_X(x)$ - поставить $x$ на оси абсцисс, провести вертикальную прямую, интегрировать по отрезку внутри треугольника.