Как определить периодичность "слету"?

[lampard]

Имеется ввиду -- по виду функции быстро и обоснованно.

1) $f(x)=\dfrac{x^3+2}{x^2}$

2) $f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2+3}$

Понимаю, что можно сразу сказать, что периода и у первой функции нет, у второй -- нет. Это очевидно. Но как лаконично можно обосновать?
Да, можно начать выписывать так $f(x+T)=f(x)$

$\dfrac{x^3+2}{x^2}=\dfrac{(x+T)^3+2}{(x+T)^2}$

Ну итп (это нудно и долго)... А есть ли альтернатива?

[SpBTimes]

Например, так как функции начиная с некоторого момента монотонны.

[lampard]

SpBTimes в сообщении #794445 писал(а):

Например, так как функции начиная с некоторого момента монотонны.

А я слышал, что можно сделать какие-то трюки с областью определения, но вот как именно они проворачивались -- не понятно(

Что-то в таком стиле $x+T=2\in D(y); x=2-T \notin D(y)\Rightarrow...$

[gris]

У каждой из Ваших функций конечное число корней. То есть существует значение, которое функция принимает конечное число раз. Периодическая функция каждое значение принимает бесконечное число раз. Это необходимый, но не достаточный признак. Как и упомянутая немонотонность, кстати. У первой ещё и точка разрыва всего одна.

[lampard]

gris в сообщении #794457 писал(а):

У каждой из Ваших функций конечное число корней. То есть существует значение, которое функция принимает конечное число раз. Периодическая функция каждое значение принимает бесконечное число раз. Это необходимый, но не достаточный признак. Как и упомянутая немонотонность, кстати. У первой ещё и точка разрыва всего одна.

Спасибо! Понятно, а как это можно формализовать с помощью математической записи символами?

[gris]

Словами так: пусть существует такое значение $y_0$, которое функция принимает конечное число раз. Возьмём максимальное значение аргумента для этого значения функции — $x_0$. То есть $\forall x>x_0 \; f(x)\ne f(x_0)$, что противоречит существованию периода, то есть периодичности функции.
Конечно, можно и целиком записать формально, но главное же суть.

[lampard]

gris в сообщении #794468 писал(а):

Словами так: пусть существует такое значение $y_0$, которое функция принимает конечное число раз. Возьмём максимальное значение аргумента для этого значения функции — $x_0$. То есть $\forall x>x_0 \; f(x)\ne f(x_0)$, что противоречит существованию периода, то есть периодичности функции.
Конечно, можно и целиком записать формально, но главное же суть.

Спасибо, понятно!

[provincialka]

(Оффтоп)

:D Да очень просто можно определить. Если нет синусов, косинусов, дробной или целой части - значит, точно не периодическая. Какие еще функции могут период давать? Шучу, шучу...

[gris]

(Оффтоп)

provincialka, вот так отвечают школьники на вопрос о периодичности тождественного нуля: — Нету синусов, значит непериодическая .

[provincialka]

(Оффтоп)

gris
, а если кроме шуток, действительно, кроме константы, никакая рациональная функция не может быть периодической. И экспоненты с логарифмами тут тоже не спасут

[gris]

Функция Дирихле. А, рациональная... Ну так возьмём кусочно-рациональную.
Ну, вообще-то, согласен. Просто мне показалось, что требуется именно обосновать непериодичность, а не просто заметить.
Мало-ли чего преподавателю захочется? Сами, наверное, грешили дотошностью

Кстати, некоторые студенты (особенно "одни") иногда думают, что наличие тригонометрии гарантирует периодичность. — Но тут же синус!

[provincialka]

gris, конечно, требуется обосновать. И приведенное обоснование легко распространяется на отношение многочленов.
Вот с логарифмами и эксплнентами я не так уверена, хотя интуитивно кажется, что и их композиции не периодичны.

[Xaositect]

provincialka в сообщении #794749 писал(а):

Вот с логарифмами и эксплнентами я не так уверена, хотя интуитивно кажется, что и их композиции не периодичны.

Достаточно известен такой факт: функции, полученные с помощью арифметических операций и композиции из многочленов, экспонент и логарифмов имеют предел либо стремятся к бесконечности определенного знака на бесконечности. Доказывается индукцией по глубине формулы. Так что если такая функция не является константой в окрестности бесконечности, то она не периодична.

[provincialka]

Xaositect, спасибо! Сомнения окончательно развеялись!