Замена базиса

[DoubleBubble]

Ну... Если брать за матрицу оператора - матрицу $Y$, а за базис - $X$, то $F$ выражается через вектора базиса $X$ следующим образом $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, и тогда $[a]_f=P_{f\rightarrow x}\cdot A\cdot P_{x\rightarrow f} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 8\\ -2 & -1 & -1\\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
Если матрица оператора $\begin{pmatrix} 3 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, а базис - единичная матрица, следовательно метрица перехода $F^T$, тогда искомая матрица $[a]_f= P_{f\rightarrow e}\cdot A\cdot P_{e\rightarrow f} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Как видите - результаты разные, отсюда вопрос, что я не так понял и сделал?

[svv]

Нет, всё-таки так не получится.
Я обозначу исходный базис, в котором все задано, через $z$.
Буду пользоваться такими обозначениями: $X_z$ — это матрица, составленная из компонент векторов $x$ в базисе векторов $z$. В этой матрице $k$-му вектору соответствует $k$-й столбец.
Нам дано: $X_z, Y_z, F_z$. Найти надо $A_f$.

Тогда матрица оператора в базисе $x$ будет
$A_x=X_z^{-1} Y_z$

Но эта матрица никак не поможет найти решение, которое выглядит так:
$A_f=F_z^{-1} Y_z X_z^{-1} F_z$

P.S. Связь с обозначениями DoubleBubble. У него исходный базис обозначен $e$. Матрица $X_z$ — это по-другому $P_{z\to x}$ (если только $x$ тоже базис; для $y$, например, это не обязательно так, если оператор вырожден).

[DoubleBubble]

А почему $A_x=X_z^{-1} Y_z$, если $AX=Y$, то ведь $A=YX^{-1}$?

[mihailm]

DoubleBubble в сообщении #793849 писал(а):

Ну... Если брать за матрицу оператора - матрицу $Y$, а за базис - $X$, то $F$ выражается через вектора базиса $X$ следующим образом $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, и тогда $[a]_f=P_{f\rightarrow x}\cdot A\cdot P_{x\rightarrow f} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 8\\ -2 & -1 & -1\\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
...

За матрицу оператора надо взять разложения $y_i$ по базису $x_1,x_2,x_3$
В точности по определению!
начну $y_1=-x_2+x_3$

[DoubleBubble]

$\\y_1 = -x_2 + x_3\\y_2 = x_2\\y_3 = -2x_2-2x_2+2x_3$
Получается, что $[a]_x= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2\\ -1 & 1 & -2\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ ?

[mihailm]

Точно

[DoubleBubble]

Теперь, видимо, нужно и вектора $f_k$ выразить через $x_1, x_2, x_3$
$\\f_1=x_1+x_2\\f_2=x_1\\f_3=x_1+2x_2-x_3$
То есть матрица перехода $P_{x\rightarrow f} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Тогда искомая матрица равна $[a]_f=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Всё верно?

[mihailm]

Да все правильно

[DoubleBubble]

Спасибо большое :)

[svv]

DoubleBubble в сообщении #793880 писал(а):

А почему $A_x=X_z^{-1} Y_z$, если $AX=Y$, то ведь $A=YX^{-1}$?

Ваша формула $A=YX^{-1}$ безусловно верна, когда все матрицы в ней относятся к одному базису. Я сам ею пользовался при выводе.

Теперь я хочу выразить $A_x$ через матрицы, данные в задаче (а они даны в базисе $z$).

Способ 1.
$A_x=Y_x X_x^{-1}=Y_x E^{-1}=Y_x=Z_x Y_z=X_z^{-1} Y_z$
По поводу перехода $Y_x=Z_x Y_z$. Пусть для простоты оператор $\mathsf A$ невырожден и набор векторов $y$ тоже образует базис. Тогда в Ваших обозначениях это просто
$P_{x\to y}=P_{x\to z}P_{z\to y}$

Способ 2.
$A_x=X_z^{-1}A_z X_z=X_z^{-1} Y_z X_z^{-1} X_z = X_z^{-1} Y_z$
Во втором переходе была использована именно Ваша формула $A_z=Y_z X_z^{-1}$, но затем $X_z^{-1} X_z$ взаимно уничтожились, и порядок $Y$ и $X^{-1}$ стал обратным.

[DoubleBubble]

svv в сообщении #793871 писал(а):

Тогда матрица оператора в базисе $x$ будет
$A_x=X_z^{-1} Y_z$

Если считать по этой формуле, то получается другой ответ. Почему так?

[DoubleBubble]

Извиняюсь, имел ввиду эту формулу:

svv в сообщении #793871 писал(а):

Но эта матрица никак не поможет найти решение, которое выглядит так:
$A_f=F_z^{-1} Y_z X_z^{-1} F_z$

Ведь матрица $F_z=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $Y_z=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $X_z=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Тогда $A_f=F_z^{-1} Y_z X_z^{-1} F_z=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5\\ -1 & 0 & -4\\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

[svv]

Где-то ошиблись.
Почему я уверен, что именно у Вас ошибка — у меня получился тот же результат, что у Вас здесь.

Вот промежуточные результаты для контроля. Индекс $z$ не пишу.

$$F^{-1}=\begin{bmatrix}{-1& 1& 1\\ 1&-2& 0\\ 1& 0&-1\end{bmatrix}\quad\quad X^{-1}=\begin{bmatrix}{ 1&-1& 0\\ 1& 1&-1\\-1& 0& 1\end{bmatrix}$$

Если умножать $F^{-1}YX^{-1}F$ последовательно слева направо:

$$F^{-1}Y=\begin{bmatrix}{ 1& 1& 2\\ 0&-1&-2\\-1& 0&-2\end{bmatrix}\quad\quad F^{-1}YX^{-1}=\begin{bmatrix}{ 0& 0& 1\\ 1&-1&-1\\ 1& 1&-2\end{bmatrix}\quad\quad A_f=F^{-1}YX^{-1}F =\begin{bmatrix}{ 2& 1& 1\\-1& 0& 0\\-1&-1& 1\end{bmatrix}$$

Если в первую очередь умножить $YX^{-1}$ (так как результат $A$ был найден ранее; заодно проверим ассоциативность матричного умножения ):

$$A=Y X^{-1}=\begin{bmatrix}{ 3& 1&-3\\ 1& 1&-1\\ 2& 0&-1\end{bmatrix}\quad\quad F^{-1} A =\begin{bmatrix}{ 0& 0& 1\\ 1&-1&-1\\ 1& 1&-2\end{bmatrix}\quad\quad A_f=F^{-1}A F =\begin{bmatrix}{ 2& 1& 1\\-1& 0& 0\\-1&-1& 1\end{bmatrix}$$

[Munin]

Мне пришла в голову такая мысль. Нам известно, что если ввести набор базисных векторов, то объекты (векторы, операторы) можно выражать в этом базисе. Но можно говорить об этих объектах и взятых самих по себе, без отношения к какому-либо базису. Для этого достаточно способа как-то задать, указать эти объекты, n'est-ce pas?

Теперь, если наши объекты - векторы евклидовой плоскости, мы их просто можем нарисовать на бумаге, тыкать в них пальцами, и говорить: "вот вектор, который мы хотим обсуждать, брать его проекции, произведения и т. п.". Если мы берём в качестве векторов, например, стулья, то можем тоже тыкать в них пальцами. Но если мы берём в качестве векторов элементы $\mathbb{R}^n,$ то у нас возникает конфликт нотаций: кортежи чисел, являющиеся нашими векторами самими по себе, выглядят и начинают восприниматься, как векторы, записанные в каком-то базисе.

Поэтому предлагаю (в рамках исключительно этого поста) такую нотацию: элементы $\mathbb{R}^n,$ взятые сами по себе, я буду заключать не в круглые скобочки, а в двойные квадратные (одинарные квадратные, к сожалению, перехватил svv):
$x_1=[[1,0,1]],\quad x_2=[[1,1,1]],\quad x_3=[[1,1,2]].$
Аналогично обозначаются и взятые сами по себе все объекты пространств, построенных над $\mathbb{R}^n,$ то есть, $(\mathbb{R}^n)^{k+{*l}}.$ Например, оператор $a$ будет записан как
$a=\left[\!\left[\begin{matrix} 3 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -1 \end{matrix}\right]\!\right].$
Подчёркиваю, это ещё не матрица оператора $a,$ а именно оператор $a,$ взятый сам по себе, и выраженный теми средствами, которыми мы его можем указать и "начертить".

А теперь уже можно вводить базисы и работать с ними. Например, в базисе из векторов $x_1,x_2,x_3,$ их компоненты будут, очевидно, выражаться как
$x_{1(i)}=(1,0,0),\quad x_{2(i)}=(0,1,0),\quad x_{3(i)}=(0,0,1),$
и компоненты (матрица) оператора $a$ будут
$a_{(ij)}=\begin{pmatrix} y_{1(1)} & y_{2(1)} & y_{3(1)}\\ y_{1(2)} & y_{2(1)} & y_{3(2)}\\ y_{1(3)} & y_{2(1)} & y_{3(3)} \end{pmatrix}.$
Впрочем, очевидно, базис из векторов $x_1,x_2,x_3,$ нам не нужен, а можно сразу и непосредственно выражать объекты $x_a,y_a,a$ в базисе из векторов $f_1,f_2,f_3.$ Всё, что нам нужно - это скалярное произведение, а его мы умеем вычислять для элементов $\mathbb{R}^n$ непосредственно, "в скобочках [[]]".

Вот такое имхо.

[DoubleBubble]

svv, извините, видимо где-то опечатался. Пересчитал и всё сошлось.

Munin, как я понимаю, этот метод хорош только когда один вектора хорошо выражаются через другие? А ведь не хочется полагаться на удачу :)