Нормальное расширение

[DoubleBubble]

Доброго времени суток.

Помогите, пожалуйста, разобраться с тем, что такое "нормальное расширение поля"?
Как говорит конспект "Расширение $L$ поля $K$ называется "нормальным", если любой многочлен, неприводимый над $K$, и имеющий хотя бы один корень в $L$, раскладывается в $L$ на линейные множители."
Английский вариант статьи на wiki приводит пример нормального расширения: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, и пример соответствующего многочлена: $(x^2 - 2)$.
Мне не понятно, почему такое расширение нормально, ведь к примеру многочлен $(x^2 - 2)(x^2 - 3)$, то бишь $x^4 - 5x^2 + 6$, не разложится на линейные, так как $\sqrt{3}$ в этом расширении нет.

Помогите разобраться.

[AV_77]

А разве $(x^2-2)(x^2-3)$ неприводим над $\mathbb{Q}$?

[DoubleBubble]

AV_77
Как быстро всё встало на места, спасибо :)

Какое, всё же, странное определение. При решении каких задач его можно использовать?

[apriv]

Ничего странного: конечное расширение $L/K$ нормально тогда и только тогда, когда оно получено присоединением всех корней некоторого многочлена над $K$. Ну, или так: расширение нормально, если все вложения $L$ в алгебраическое замыкание $K$ над $K$ имеют одинаковый образ.

[DoubleBubble]

А можно как-нибудь явно "увидеть" то, что, присоединив корни какого-нибудь многочлена, получим нормальное расширение?
Потому что интуитивно кажется, что так остались неприсоединёнными корни каких-нибудь других многочленов, то должен найтись такой, который и корень в расширении имеет, и на линейные в нём не раскладывается.

[VAL]

DoubleBubble в сообщении #793526 писал(а):

А можно как-нибудь явно "увидеть" то, что, присоединив корни какого-нибудь многочлена, получим нормальное расширение?
Потому что интуитивно кажется, что так остались неприсоединёнными корни каких-нибудь других многочленов, то должен найтись такой, который и корень в расширении имеет, и на линейные в нём не раскладывается.

Дело в том, что для любого алгебраического над данным полем элемента имеется (с точностью, до ассоциированности) всего один неприводимый многочлен.

[DoubleBubble]

И он называется "минимальным"? Да, теперь ясно, спасибо большое.