2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нормальное расширение
Сообщение26.11.2013, 21:45 
Аватара пользователя
Доброго времени суток.

Помогите, пожалуйста, разобраться с тем, что такое "нормальное расширение поля"?
Как говорит конспект "Расширение $L$ поля $K$ называется "нормальным", если любой многочлен, неприводимый над $K$, и имеющий хотя бы один корень в $L$, раскладывается в $L$ на линейные множители."
Английский вариант статьи на wiki приводит пример нормального расширения: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, и пример соответствующего многочлена: $(x^2 - 2)$.
Мне не понятно, почему такое расширение нормально, ведь к примеру многочлен $(x^2 - 2)(x^2 - 3)$, то бишь $x^4 - 5x^2 + 6$, не разложится на линейные, так как $\sqrt{3}$ в этом расширении нет.

Помогите разобраться.

 
 
 
 Re: Нормальное расширение
Сообщение26.11.2013, 21:48 
А разве $(x^2-2)(x^2-3)$ неприводим над $\mathbb{Q}$?

 
 
 
 Re: Нормальное расширение
Сообщение26.11.2013, 21:59 
Аватара пользователя
AV_77
Как быстро всё встало на места, спасибо :)

Какое, всё же, странное определение. При решении каких задач его можно использовать?

 
 
 
 Re: Нормальное расширение
Сообщение27.11.2013, 18:46 
Ничего странного: конечное расширение $L/K$ нормально тогда и только тогда, когда оно получено присоединением всех корней некоторого многочлена над $K$. Ну, или так: расширение нормально, если все вложения $L$ в алгебраическое замыкание $K$ над $K$ имеют одинаковый образ.

 
 
 
 Re: Нормальное расширение
Сообщение27.11.2013, 20:34 
Аватара пользователя
А можно как-нибудь явно "увидеть" то, что, присоединив корни какого-нибудь многочлена, получим нормальное расширение?
Потому что интуитивно кажется, что так остались неприсоединёнными корни каких-нибудь других многочленов, то должен найтись такой, который и корень в расширении имеет, и на линейные в нём не раскладывается.

 
 
 
 Re: Нормальное расширение
Сообщение27.11.2013, 21:06 
DoubleBubble в сообщении #793526 писал(а):
А можно как-нибудь явно "увидеть" то, что, присоединив корни какого-нибудь многочлена, получим нормальное расширение?
Потому что интуитивно кажется, что так остались неприсоединёнными корни каких-нибудь других многочленов, то должен найтись такой, который и корень в расширении имеет, и на линейные в нём не раскладывается.
Дело в том, что для любого алгебраического над данным полем элемента имеется (с точностью, до ассоциированности) всего один неприводимый многочлен.

 
 
 
 Re: Нормальное расширение
Сообщение27.11.2013, 21:25 
Аватара пользователя
И он называется "минимальным"? Да, теперь ясно, спасибо большое.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group