Итерационный процесс нахождения корня

[Ward]

Здравствуйте!

а) Пусть $a>0$. Доказать, что последовательность, заданная формулами $x_1=1, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right),$ сходится к $\sqrt{a}$.
б) Сколько членов этой последовательности нужно взять, чтобы вычислить $\sqrt{3/2}$ с точностью до одной сотой?
в) Сколько членов ряда Тейлора в нуле для $\sqrt{1+x}$ нужно взять, чтобы вычислить $\sqrt{3/2}$ с той же точностью?

То, что эта последовательность сходится к $\sqrt{a}$ это я вроде доказал.
Но как решить скажем пункт б) я понятия не имею. Помогите пожалуйста.

[mihailm]

Ward в сообщении #793042 писал(а):

...Но как решить скажем пункт б) я понятия не имею. Помогите пожалуйста.

Считаете сначала на калькуляторе корень, потом $x_2$, и смотрите на сколько отличается и т.д.

[Sonic86]

Ward в сообщении #793042 писал(а):

а) Пусть $a>0$. Доказать, что последовательность, заданная формулами $x_1=1, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right),$ сходится к $\sqrt{a}$.

Могу сказать, что это - метод Ньютона для функции $f(x)=x^2$, отсюда можно извлечь доказательство.

Ward в сообщении #793042 писал(а):

б) Сколько членов этой последовательности нужно взять, чтобы вычислить $\sqrt{3/2}$ с точностью до одной сотой?

Он сходится к корню сверху и тогда достаточно найти шаг, на котором погрешность меньше требуемой.

[Ward]

Sonic86
Я не знаю что такое метод Ньютона.
Я это доказал по-другому.
Мне хотелось бы решить это вручную.

mihailm
Ну вот $\sqrt{3/2}=1.22474487$, а $x_2=1.25$
Тогда их разность по модулю равно $0.02525513$
$x_3=1.225$ а разность(по модулю) уже будет равна $0.00025513$
И на каком шаге надо останавливаться?

[Sonic86]

Ward в сообщении #793066 писал(а):

Я это доказал по-другому.
Мне хотелось бы решить это вручную.

Хорошо, тогда можно попробовать доказать, что последовательность убывает, ограничена снизу, а значит по т. Вейерштрасса имеет предел. Сам предел можно найти исходя из рекуррентного соотношения.

[svv]

Ward в сообщении #793066 писал(а):

И на каком шаге надо останавливаться?

Всё, достаточно, $x_3$ ведь уже обеспечивает точность в одну сотую (и даже лучше).
Удивительно, что $x_4$ имеет уже 7 верных цифр после запятой.

[Sonic86]

(Оффтоп)

svv в сообщении #793073 писал(а):

Удивительно, что $x_4$ имеет уже 7 верных цифр после запятой.

Ну правильно, метод Ньютона сходится со страшной скоростью, быстрее, чем экспоненциально.

[arseniiv]

Sonic86 в сообщении #793056 писал(а):

Могу сказать, что это - метод Ньютона для функции $f(x)=x^2$

Точнее, $x^2-a$, а то будем $\sqrt0$ всё время получать.

[provincialka]

Ward в сообщении #793066 писал(а):

Ну вот $\sqrt{3/2}=1.22474487$, а $x_2=1.25$
Тогда их разность по модулю равно $0.02525513$
$x_3=1.225$ а разность(по модулю) уже будет равна $0.00025513$
И на каком шаге надо останавливаться?

А что, мы оценку погрешности делаем, уже зная точное (более точное) значение? Тогда зачем сам метод?
Может, имелось в виду, что нужно оценить погрешность, не вычисляя точное значение?

В этой задаче следующая погрешность легко оценивается через предыдущую.

[_Ivana]

provincialka в сообщении #793149 писал(а):

В этой задаче следующая погрешность легко оценивается через предыдущую.

Поясните пожалуйста, как вы предлагаете это сделать?

[provincialka]

В лоб. Пусть $x_n=\sqrt a-\delta_n$, тогда $\delta_{n+1}=\sqrt a-x_{n+1} = \frac12(2\sqrt a -\sqrt a +\delta_n-\frac{a}{\sqrt a-\delta_n})$ $=-\frac{\delta_n^2}{2(\sqrt a-\delta_n)}=-\frac{\delta_n^2}{2x_n}$. Дальше сможете? Упростите вид оценки и найдите оценку для $\delta_1$

[svv]

А можно так? Получили $x_n$, хотим знать точность. Пусть $\frac a{x_n}<x_n$, тогда точное значение лежит в интервале:
$\sqrt{a}\in(\frac a{x_n},x_n)$
Середина интервала — это в точности $x_{n+1}$, а радиус (полуширина) $\frac{x_n-x_{n+1}}2$. В общем случае в последней формуле надо взять модуль.

Итак, $\sqrt a$ лежит в интервале $x_{n+1}\pm\frac{|x_n-x_{n+1}|}2$.

[provincialka]

Ну, можно... Только зачем? Я вам до всяких вычислений скажу, сколько итераций провести. Имеем $|\delta_{n+1}|=\frac{\delta_n^2}{2x_n}<\frac{\delta_n^2}{2}$, так как $x_n>1$ (наверное, это нетрудно доказать). Имеем $\delta_1=\sqrt{\frac32}-1<\frac32-1=\frac12$. Значит, $|\delta_2|<\frac12(\frac12)^2=\frac18$, а уже $\delta_3<\frac1{128}<0,01$.

[_Ivana]

Да, только при $a=9$ уже надо дополнительно считать количество членов до первого отклонения, меньшего $1$.

У меня смутное ощущение, что с менее дружественной рекуррентной последовательностью ни один из предлагаемых методов может не пройти. Я думал, что есть какой-то общий метод оценки необходимого числа членов последовательности для обеспечения заданной точности.

[svv]

Мне кажется, итерационному процессу идейно соответствует скорее контроль точности (принятие решения на каждом шаге, надо ли продолжать процесс), чем предварительное вычисление нужного числа шагов.