2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 19:41 


03/08/12
458
Здравствуйте!

а) Пусть $a>0$. Доказать, что последовательность, заданная формулами $x_1=1, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right),$ сходится к $\sqrt{a}$.
б) Сколько членов этой последовательности нужно взять, чтобы вычислить $\sqrt{3/2}$ с точностью до одной сотой?
в) Сколько членов ряда Тейлора в нуле для $\sqrt{1+x}$ нужно взять, чтобы вычислить $\sqrt{3/2}$ с той же точностью?

То, что эта последовательность сходится к $\sqrt{a}$ это я вроде доказал.
Но как решить скажем пункт б) я понятия не имею. Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 19:48 


19/05/10

3940
Россия
Ward в сообщении #793042 писал(а):
...Но как решить скажем пункт б) я понятия не имею. Помогите пожалуйста.

Считаете сначала на калькуляторе корень, потом $x_2$, и смотрите на сколько отличается и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 20:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ward в сообщении #793042 писал(а):
а) Пусть $a>0$. Доказать, что последовательность, заданная формулами $x_1=1, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right),$ сходится к $\sqrt{a}$.
Могу сказать, что это - метод Ньютона для функции $f(x)=x^2$, отсюда можно извлечь доказательство.

Ward в сообщении #793042 писал(а):
б) Сколько членов этой последовательности нужно взять, чтобы вычислить $\sqrt{3/2}$ с точностью до одной сотой?
Он сходится к корню сверху и тогда достаточно найти шаг, на котором погрешность меньше требуемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 20:18 


03/08/12
458
Sonic86
Я не знаю что такое метод Ньютона.
Я это доказал по-другому.
Мне хотелось бы решить это вручную.

mihailm
Ну вот $\sqrt{3/2}=1.22474487$, а $x_2=1.25$
Тогда их разность по модулю равно $0.02525513$
$x_3=1.225$ а разность(по модулю) уже будет равна $0.00025513$
И на каком шаге надо останавливаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 20:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ward в сообщении #793066 писал(а):
Я это доказал по-другому.
Мне хотелось бы решить это вручную.
Хорошо, тогда можно попробовать доказать, что последовательность убывает, ограничена снизу, а значит по т. Вейерштрасса имеет предел. Сам предел можно найти исходя из рекуррентного соотношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 20:26 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ward в сообщении #793066 писал(а):
И на каком шаге надо останавливаться?
Всё, достаточно, $x_3$ ведь уже обеспечивает точность в одну сотую (и даже лучше).
Удивительно, что $x_4$ имеет уже 7 верных цифр после запятой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 20:39 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

svv в сообщении #793073 писал(а):
Удивительно, что $x_4$ имеет уже 7 верных цифр после запятой.
Ну правильно, метод Ньютона сходится со страшной скоростью, быстрее, чем экспоненциально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 21:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sonic86 в сообщении #793056 писал(а):
Могу сказать, что это - метод Ньютона для функции $f(x)=x^2$
Точнее, $x^2-a$, а то будем $\sqrt0$ всё время получать. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ward в сообщении #793066 писал(а):
Ну вот $\sqrt{3/2}=1.22474487$, а $x_2=1.25$
Тогда их разность по модулю равно $0.02525513$
$x_3=1.225$ а разность(по модулю) уже будет равна $0.00025513$
И на каком шаге надо останавливаться?
А что, мы оценку погрешности делаем, уже зная точное (более точное) значение? Тогда зачем сам метод?
Может, имелось в виду, что нужно оценить погрешность, не вычисляя точное значение?

В этой задаче следующая погрешность легко оценивается через предыдущую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 22:40 


05/09/12
2587
provincialka в сообщении #793149 писал(а):
В этой задаче следующая погрешность легко оценивается через предыдущую.
Поясните пожалуйста, как вы предлагаете это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В лоб. Пусть $x_n=\sqrt a-\delta_n$, тогда $\delta_{n+1}=\sqrt a-x_{n+1} = \frac12(2\sqrt a -\sqrt a +\delta_n-\frac{a}{\sqrt a-\delta_n})$ $=-\frac{\delta_n^2}{2(\sqrt a-\delta_n)}=-\frac{\delta_n^2}{2x_n}$. Дальше сможете? Упростите вид оценки и найдите оценку для $\delta_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 23:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А можно так? Получили $x_n$, хотим знать точность. Пусть $\frac a{x_n}<x_n$, тогда точное значение лежит в интервале:
$\sqrt{a}\in(\frac a{x_n},x_n)$
Середина интервала — это в точности $x_{n+1}$, а радиус (полуширина) $\frac{x_n-x_{n+1}}2$. В общем случае в последней формуле надо взять модуль.

Итак, $\sqrt a$ лежит в интервале $x_{n+1}\pm\frac{|x_n-x_{n+1}|}2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение26.11.2013, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, можно... Только зачем? Я вам до всяких вычислений скажу, сколько итераций провести. Имеем $|\delta_{n+1}|=\frac{\delta_n^2}{2x_n}<\frac{\delta_n^2}{2}$, так как $x_n>1$ (наверное, это нетрудно доказать). Имеем $\delta_1=\sqrt{\frac32}-1<\frac32-1=\frac12$. Значит, $|\delta_2|<\frac12(\frac12)^2=\frac18$, а уже $\delta_3<\frac1{128}<0,01$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение27.11.2013, 00:13 


05/09/12
2587
Да, только при $a=9$ уже надо дополнительно считать количество членов до первого отклонения, меньшего $1$.

У меня смутное ощущение, что с менее дружественной рекуррентной последовательностью ни один из предлагаемых методов может не пройти. Я думал, что есть какой-то общий метод оценки необходимого числа членов последовательности для обеспечения заданной точности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерационный процесс нахождения корня
Сообщение27.11.2013, 00:22 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Мне кажется, итерационному процессу идейно соответствует скорее контроль точности (принятие решения на каждом шаге, надо ли продолжать процесс), чем предварительное вычисление нужного числа шагов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group