Разложение арксинуса

[Ward]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста. Не знаю с чего начать.

Найдите неизвестные константы разложения в единице:

$$\arcsin x=\frac{\pi}{2}+A(1-x)^{\alpha}+B(1-x)^{\beta}+o((1-x)^{\beta})$$

[Oleg Zubelevich]

ну разложите sin в окрестности $\pi/2$ и обращайте функцию

[Ward]

Есть такая идея: сделать замену $1-x=y$ и у нас получается:

$$\arcsin(1-y)=\frac{\pi}{2}+Ay^{\alpha}+By^{\beta}+o(y^{\beta})$$

т.е. нам нужно найти разложение $\arcsin(1-y)$ в нуле.

[RIP]

Просто примените синус к левой и правой части.

[Ward]

ну применяя синус к левой и правой части и учитывая, что $\sin(\pi/2+\alpha)=\cos \alpha$ получаем, что:

$$1-y=\cos(Ay^{\alpha}+By^{\beta}+o(y^{\beta}))$$

а дальше пока не знаю что делать.

[Whitaker]

Можно еще так:

$$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}$$

Теперь $(1+x)^{-1/2}$ можно разложить по степеням $(1-x)$, а затем умножить на $(1-x)^{-1/2}$, а затем проинтегрировать.

[ewert]

Whitaker в сообщении #792567 писал(а):

Теперь $(1+x)^{-1/2}$ можно разложить по степеням $(1-x)$, а затем умножить на $(1-x)^{-1/2}$,

Вот уж что совсем ни к чему -- надо просто тупо раскладывать исходное $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Впрочем, задача всё равно совсем не об этом.

[provincialka]

ewert, не скажите. Не особо вдумывалась в задачу, но ведь арксинус в единице не гладкая функция, в ряд Тейлора не раскладывается. Недаром в исходном посте степени не указаны, их тоже надо найти.