2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разложение арксинуса
Сообщение25.11.2013, 17:58 
Здравствуйте!

Помогите пожалуйста. Не знаю с чего начать.

Найдите неизвестные константы разложения в единице: $$\arcsin x=\frac{\pi}{2}+A(1-x)^{\alpha}+B(1-x)^{\beta}+o((1-x)^{\beta})$$

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение25.11.2013, 18:01 
ну разложите sin в окрестности $\pi/2$ и обращайте функцию

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение25.11.2013, 18:04 
Есть такая идея: сделать замену $1-x=y$ и у нас получается: $$\arcsin(1-y)=\frac{\pi}{2}+Ay^{\alpha}+By^{\beta}+o(y^{\beta})$$
т.е. нам нужно найти разложение $\arcsin(1-y)$ в нуле.

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение25.11.2013, 18:32 
Аватара пользователя
Просто примените синус к левой и правой части.

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение25.11.2013, 19:01 
ну применяя синус к левой и правой части и учитывая, что $\sin(\pi/2+\alpha)=\cos \alpha$ получаем, что: $$1-y=\cos(Ay^{\alpha}+By^{\beta}+o(y^{\beta}))$$ а дальше пока не знаю что делать.

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение25.11.2013, 19:27 
Аватара пользователя
Можно еще так:
$$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}$$Теперь $(1+x)^{-1/2}$ можно разложить по степеням $(1-x)$, а затем умножить на $(1-x)^{-1/2}$, а затем проинтегрировать.

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение26.11.2013, 09:03 
Whitaker в сообщении #792567 писал(а):
Теперь $(1+x)^{-1/2}$ можно разложить по степеням $(1-x)$, а затем умножить на $(1-x)^{-1/2}$,

Вот уж что совсем ни к чему -- надо просто тупо раскладывать исходное $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Впрочем, задача всё равно совсем не об этом.

 
 
 
 Re: Разложение арксинуса
Сообщение26.11.2013, 09:18 
Аватара пользователя
ewert, не скажите. Не особо вдумывалась в задачу, но ведь арксинус в единице не гладкая функция, в ряд Тейлора не раскладывается. Недаром в исходном посте степени не указаны, их тоже надо найти.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group