Вопросы про ранг

[boriska]

1) Если $ \operatorname{rank} A=m\;\;\; \operatorname{rank} B=n$, то что можно сказать про $ \operatorname{rank} (A+B)$?
С чего тут начать? В ответах написано, что $\operatorname{rank} (A+B)\leqslant m+n$, но почему?
2) Найти $\operatorname{rank} A$, если

$A=\begin{pmatrix} 1&n &n &... &n\\ n&1 &n &... &n\\ n&n &1 &n &...\\ ..&....&...&...&...\\ n& n& ... & n& 1\\ \end{pmatrix}$

Тут лучше по минорам искать или по столбцам (строкам)?

[SpBTimes]

А что известно? Скажем, известна ли теорема о базисном миноре?
Если да, то начнем с оценки сверху. В первой матрице есть $\operatorname{rank}(A)$ ЛНЗ строк, через которые выражаются все остальные, во второй - $\operatorname{rank}(B)$. Ну а значит произвольная строка суммы - комбинация не более чем $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ строк. Вот и все.
Чтобы показать, что может быть меньше, придумайте пример.

-- Пн ноя 25, 2013 16:26:12 --

Во второй мне структура матрицы непонятна.

[svv]

Наверное, имелось в виду
$A=\begin{pmatrix}1&n&n&...&n\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1\\ \end{pmatrix}$

[boriska]

SpBTimes в сообщении #792494 писал(а):

А что известно? Скажем, известна ли теорема о базисном миноре?
Если да, то начнем с оценки сверху. В первой матрице есть $\operatorname{rank}(A)$ ЛНЗ строк, через которые выражаются все остальные, во второй - $\operatorname{rank}(B)$. Ну а значит произвольная строка суммы - комбинация не более чем $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ строк. Вот и все.
Чтобы показать, что может быть меньше, придумайте пример.

-- Пн ноя 25, 2013 16:26:12 --

Во второй мне структура матрицы непонятна.

Спасибо, структура матрицы поправлена. Про первую задача ясно, а можно ли не пользуюясь лнз строк (столбцов), как-то иначе...?

[boriska]

svv в сообщении #792509 писал(а):

Наверное, имелось в виду
$A=\begin{pmatrix}1&n&n&...&n\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1\\ \end{pmatrix}$

Да, именно это имелось ввиду...

[SpBTimes]

Не пользуясь ЛНЗ, мне кажется, будет как-то натянуто.. Все равно дело то к одному и тому же сводить.

А про второй. Случай единицы надо рассмотреть отдельно, а дальше попробуйте вычислить определитель.

[boriska]

$\begin{vmatrix} 1 & n \\ n & 1 \end{vmatrix} =1-n^2$

$\begin{vmatrix} 1 & n & n \\ n & 1 & n \\ n & n& 1 \end{vmatrix} =1-n^2$

$\begin{vmatrix} 1 & n & n&n \\ n & 1 & n &n\\ n & n& 1&n \\ n & n& n&1\end{vmatrix} =-2n^4+2n^3-3n^2+1$

Тут надо найти закономерность?

[SpBTimes]

Сомневаюсь. Рекуррентно не пробовали?

[provincialka]

Зачем? Там простое сложение строк. Получаем все единицы, после чего удаляете все элементы, равные $n$.
boriska, $n$, насколько я поняла - это размер матрицы? Впрочем, там и в общем случае легко находится ответ.

[boriska]

Правильно ли я понимаю (идею про сложение), что если к 1 строке прибавить все остальные, ко второй все, кроме второй итп, то:

$$\begin{pmatrix}1&n&n&...&n\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1\\ \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}1+(n-1)n&1+(n-1)n&1+(n-1)n&...&1+(n-1)n\\ 1+(n-1)n&1+(n-1)n&1+(n-1)n&...&1+(n-1)n\\ 1+(n-1)n&1+(n-1)n&1+(n-1)n&...&1+(n-1)n\\ ...&...&...&...&...\\1+(n-1)n&1+(n-1)n&1+(n-1)n&...&1+(n-1)n\\ \end{pmatrix}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&...&1\\ 1&1&1&...&1\\ 1&1&1&...&1\\ ...&...&...&...&...\\1&1&1&...&1\\ \end{pmatrix}\rightarrow \operatorname{rank}A=1$$

-- 26.11.2013, 01:06 --

SpBTimes в сообщении #792654 писал(а):

Сомневаюсь. Рекуррентно не пробовали?

А как тут реккурентно? По мат индукции имеется ввиду?

[Urnwestek]

Неправильно. Вы сделайте тоже самое для матриц 2х2 и 3х3, а потом посчитайте их определитель по определению и увидите, что он внезапно не ноль.

[boriska]

Urnwestek в сообщении #792727 писал(а):

Неправильно. Вы сделайте тоже самое для матриц 2х2 и 3х3, а потом посчитайте их определитель по определению и увидите, что он внезапно не ноль.

Спасибо, а что именно неверно? А что тогда еще с чем складывать?

[Urnwestek]

boriska в сообщении #792730 писал(а):

Спасибо, а что именно неверно? А что тогда еще с чем складывать?

Неверна первая же стрелочка в вашем посте выше, мне непонятно из каких рассуждений вы её получили.
Прибавьте все строки к первой, первая строка будет состоять лишь из элементов $n+1$ вынесете это за определитель, получите первую строку, состоящую лишь из единиц, вычтите её из каждой строки предварительно домножив на $n$ у вас выйдет верхнетреугольная матрица; ну а дальше как-нибудь справитесь, наверное. (:

[iifat]

boriska в сообщении #792724 писал(а):

что если к 1 строке прибавить все остальные, ко второй все, кроме второй итп

... то ранг любой матрицы окажется единицей. Кроме нулевой

[provincialka]

Urnwestek в сообщении #792733 писал(а):

Прибавьте все строки к первой, первая строка будет состоять лишь из элементов $n+1$ ...

Точнее, из элементов $n(m-1)+1$, где $m$ - размерность матрицы.