Вопросы про ранг

[boriska]

provincialka в сообщении #792739 писал(а):

Urnwestek в сообщении #792733 писал(а):

Прибавьте все строки к первой, первая строка будет состоять лишь из элементов $n+1$ ...

Точнее, из элементов $n(m-1)+1$, где $m$ - размерность матрицы.

Так у меня же так и есть, так как размерность матрицы $n\times n$

[provincialka]

boriska Так я и не вам об этом пишу. Вы разобрались, почему во всех строках нельзя писать сумму исходных строк?

[boriska]

provincialka в сообщении #792782 писал(а):

boriska Так я и не вам об этом пишу. Вы разобрались, почему во всех строках нельзя писать сумму исходных строк?

Я вроде понимаю, что тогда всегда будет ранг равен 1, если так делать -- а вот почему так нельзя делать -- понять пока что не удалось....

[provincialka]

Потому что это не доказано в теории. Делайте все последовательно. Вот вы прибавили к первой строке другие (все остальные). От этого определитель не изменится. Но теперь первая строка уже изменилась! Нельзя вместо нее использовать старую строку.
Это все равно как неопытный программист захочет поменять содержимое двух ячеек так: $a:=b, b:=a$. После первого действия информация уже потерялась.

[boriska]

provincialka в сообщении #792810 писал(а):

Потому что это не доказано в теории. Делайте все последовательно. Вот вы прибавили к первой строке другие (все остальные). От этого определитель не изменится. Но теперь первая строка уже изменилась! Нельзя вместо нее использовать старую строку.
Это все равно как неопытный программист захочет поменять содержимое двух ячеек так: $a:=b, b:=a$. После первого действия информация уже потерялась.

Хорошо, спасибо, понятно. Вот вы писали:

provincialka в сообщении #792655 писал(а):

Зачем? Там простое сложение строк. Получаем все единицы, после чего удаляете все элементы, равные $n$.
boriska, $n$, насколько я поняла - это размер матрицы? Впрочем, там и в общем случае легко находится ответ.

А какие строки нужно сложить, чтобы получить все единицы, что-то у меня не получается придумать(

[provincialka]

Все строки. Вы же это уже сделали! Но только проделать это можно один раз. Правило говорит о том, что определитель не изменится, если к его строке прибавить другую строку (в том числе умноженную на константу). Вот и прибавьте все строки к первой. А к остальным - не надо, там другая идея.

[bot]

provincialka в сообщении #792877 писал(а):

А к остальным - не надо

И нельзя - первая-то уже тютю ..., она изменилась.

-- Вт ноя 26, 2013 17:15:31 --

boriska в сообщении #792876 писал(а):

А какие строки нужно сложить, чтобы получить все единицы

Не то, чтобы единица, а одно и то же число, которое превращается в единицу вынесением.

[boriska]

provincialka в сообщении #792877 писал(а):

Все строки. Вы же это уже сделали! Но только проделать это можно один раз. Правило говорит о том, что определитель не изменится, если к его строке прибавить другую строку (в том числе умноженную на константу). Вот и прибавьте все строки к первой. А к остальным - не надо, там другая идея.

$$\begin{pmatrix}1&n&n&...&n\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1\\ \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}1+(n-1)n&1+(n-1)n&1+(n-1)n&...&1+(n-1)n\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1 \end{pmatrix}\Leftrightarrow$$

Прибавил....Что-то не особенно упростилось(

[mihailm]

Делите на что нить первую строку

[provincialka]

Еще одно свойство определителя: общий множитель из одной строки можно вынести за знак определителя.

[boriska]

provincialka в сообщении #792900 писал(а):

Еще одно свойство определителя: общий множитель из одной строки можно вынести за знак определителя.

$$\begin{pmatrix}1+(n-1)n&1+(n-1)n&1+(n-1)n&...&1+(n-1)n\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1 \end{pmatrix}\Leftrightarrow\left(1+(n-1)n\right)\cdot \begin{pmatrix}1&1&1&...&1\\ n&1&n&...&n\\ n&n&1&...&n\\ ...&...&...&...&...\\n&n&n&...&1 \end{pmatrix}\Leftrightarrow$$

Сделал, есть идея ко второй строчке теперь прибавить строчки с номерами $3, 4, 5, ..., n$ Но что-то это не упрощает дело, так как во второй строке тогда будут стоять разные элементы....

[provincialka]

Просмотрите предыдущие советы, там есть правильные. Подсказка: цель преобразования определителя - превратить как можно больше элементов в нули. Так что не прибавляйте, пилите Шура, пилите, вычитайте.
Кстати, а зачем у вас в формуле стоит знак "равносильно"? Определитель - число, оно не может быть равносильно другому числу. Просто равно.

[boriska]

provincialka в сообщении #792906 писал(а):

Просмотрите предыдущие советы, там есть правильные. Подсказка: цель преобразования определителя - превратить как можно больше элементов в нули. Так что не прибавляйте, пилите Шура, пилите, вычитайте.
Кстати, а зачем у вас в формуле стоит знак "равносильно"? Определитель - число, оно не может быть равносильно другому числу. Просто равно.

Я просто пишу не определитель, а саму матрицу в круглых скобках, с ней делаю преобразования!

Кажется, ясно! Если из всех строк, со втрой по $n$ вычесть первую, уменоженную на $n$, получим!

$\begin{pmatrix}1&1&1&...&1\\ 0&1-n&0&...&0\\ 0&0&1-n&...&0\\ ...&...&...&...&...\\0&0&0&...&1-n \end{pmatrix}$

То есть ранг равен $n$. Кажется, понятно!
Правда ли, что определитель тогда будет равен $\dfrac{(1+(n-1)n)(1-n)}{n}$? (ну это так, любопытно просто)

[provincialka]

Нет, определить будет другой, в частности, целый. Откуда берется деление на $n$?

[boriska]

provincialka в сообщении #792918 писал(а):

Нет, определить будет другой, в частности, целый. Откуда берется деление на $n$?

Ой, перемудрил (думал $\frac{1}{n}$ поставить, чтобы скомпенсировать умножение первой строчки на $n$).

$\det A=(1+(n-1)n)(1-n)$