Зависимость и независимость событий

[JohnySC]

Здравствуйте!
Хочу осмыслить предложенный преподавателем пример зависимых и независимых событий, в самом начале изучения теории вероятностей. Изучили,что произведение вероятностей дает вероятность произведения событий, если события независимы. Пример независимых событий предложенный преподавателем:
"Вероятность достать из колоды карт (36 шт) карту определенного достоинства равна 4 из 36, т.е. $\frac19$. Вероятность достать из колоды карту определенной масти равна 9 из 36, т.е. $\frac14$. Произведение указанных событий по доставанию из колоды карты определенного достоинства, и карты определенной масти - дает нам событие по доставанию карты заданной масти и заданного достоинства. Вероятность достать карту определенной масти и достоинства, соответственно $\frac 1 {36} $. Произведение вероятностей, действительно дает вероятность произведения: $\frac19 \cdot \frac14 = \frac 1 {36} $ - вывод, что события независимые."
С этим всем я на 100% согласен. Но не согласен с примером зависимых событий:
"Возьмем ту же самую колоду и добавим в нее карту без достоинства и масти - 'чистую'. Тогда вероятность достать из колоды карту определенного достоинства равна 4 из 37, т.е. $\frac 4 {37}$. Вероятность достать из колоды карту определенной масти равна 9 из 37, т.е. $\frac 9 {37}$. Вероятность достать карту определенной масти и достоинства, соответственно $\frac 1 {37} $. А произведение вероятностей, дает нам: $\frac 4 {37} \cdot \frac 9 {37} = \frac {36} {{37} \cdot {37}} \neq \frac 1 {37}$ - вывод, что события зависимые."
Мне кажется, что здесь что-то не так, ведь никакой логики в зависимости событий друг от друга тут нет. Однако тут софизм скрыт в том, что нарушено классическое правило вычисления численного значения вероятности. Ведь, по определению, события должны быть равновозможные, а выпадение одной из четырех мастей (9 из 37) не равновозможно, т.к. может же и выпасть 'чистая' карта, соответственно нельзя тут так считать вероятность, а вот как правильно ее считать, и получить верное равенство, я не могу понять. Помогите, пожалуйста, разобраться.

[ИСН]

Нет такого классического правила, в котором события должны быть равновозможными. Вы воплотились не в той Вселенной.
А по существу скажу так: попробуем довести до абсурда. Добавим миллион белых карт. Какова теперь вероятность, что карта имеет определённую масть? Несколько миллионных. А что определённое достоинство? Тоже несколько миллионных. А что и то, и другое? Произведение вероятностей? Э не-е-ет...

[provincialka]

До абсурда так до абсурда. Возьмем пиковую даму и 999 чистых. Тогда вероятность каждого из событий "дама", "пика" и "дама пик" одинакова и равна $0,001$. А вот интересно, может ли ТС на уровне здравого смысла объяснить этот эффект?

[JohnySC]

Как же нет такого классического правила? В википедии есть, в "Теория вероятностей и математическая статистика" Гмурман В.Е. - тоже есть на стр. 19.
А по существу - из Ваших ответов я так и не понял, в чем зависимость событий во втором случае? Каким образом они стали друг от друга зависимыми? А если не стали, то как все-таки правильно свести произведения, чтоб они стали равны?

[gris]

А вот если так?
Берём 37 белых карт, отделяем одну, а на остальных рисуем четыре масти по девять карт. Потом возвращаем белую карту, тасуем, тасуем, тасуем, отделяем случайную карту и на остальных рисуем достоинства (в карточном смысле, разумеется), не подглядывая за мастями. Снова возвращаем карту, тасуем, тасуем, тасуем и открываем случайную. Какова вероятность, что это туз пик?

Вот тут и видна зависимость/независимость масти и достоинства.

[provincialka]

Вы про условные вероятности знаете? Как они связаны с независимостью? Если карта имеет масть, значит, она точно не белая. А заранее, не посмотрев на карту, мы этого не знали.

[JohnySC]

Может я непонятно описал, но мне-то непонятно как логически независимые события вдруг стали зависимыми - вот в чем вопрос. Ведь они независимы, т.к. выпала в первый раз или не выпала, карта нужного достоинства, никак не влияет на вероятность выпадения, или не выпадения, во второй раз нужной масти, а следуя логике преподавателя - появилась зависимость между событиями (причем не ясно какая, то ли увеличилась вероятность второго события, то ли уменьшилась).
По поводу требования "равновозможности" - есть очень хороший пример - игральная кость - вероятность выпадения на грани 5 точек равна $0,5$, т.к. 5 точек может либо выпасть, либо не выпасть - всего один вариант из двух Это как раз без требования равновозможности...

[gris]

Что такое "логически независимые события"? Независимость на глаз, с точки зрения здравого смысла? Иногда это противоречит настоящей, вероятностной независимости. Так же, как и равновозможность. Она, в общем, и не нужна для независимости. Равновозможным должно быть вытаскивание любой карты из колоды, выпадение любой грани у кости. У краплёных колод и шулерских костей это нарушается.
"Логически" масти и достоинства карт очень даже связаны. Каждое название представлено ровно в четырёх мастях. Но именно из-за строгого порядка этого распределения масть и достоинство случайно выбранной карты независимы.

В Вашем примере с костью центр тяжести её может быть смещён так, что она действительно в половине случаем падает пятёркой кверху. И равновозможность есть: как раз "выпадет-не выпадет" и вероятность будет $0.5$.

[JohnySC]

gris в сообщении #792546 писал(а):

Но именно из-за строгого порядка этого распределения масть и достоинство случайно выбранной карты независимы.

Понятно, и значит из-за внедрения одной пустой карты нарушается строгий порядок распределения, и появляется зависимость? Какая? Вот этот момент непонятен...

[provincialka]

Почему "выпадение второй раз"? Карта та же самая, вынимается один раз! И у нас появляется дополнительная информация: карта не пустая.

[gris]

Кстати, можно рассматривать и две карты. События "пятая сверху карта король", а "третья снизу бубна" тоже независимы.
Независимость достоинств и мастей в стандартной колоде очень неустойчива. Достаточно выкинуть определённую карту, или добавить таковую (в том числе и с фиктивными, пустыми мастью и достоинством), как независимость рухнет, как карточный домик.
Истинная независимость приведена в моём предыдущем примере.

[JohnySC]

provincialka в сообщении #792551 писал(а):

Почему "выпадение второй раз"? Карта та же самая, вынимается один раз! И у нас появляется дополнительная информация: карта не пустая.

Зависимость или независимость событий не подразумевает несколько событий? Если бы было условие, что карта не пустая, то тогда считали бы вероятность из 36 карт, а не из 37

gris в сообщении #792554 писал(а):

Достаточно выкинуть определённую карту, или добавить таковую (в том числе и с фиктивными, пустыми мастью и достоинством), как независимость рухнет, как карточный домик

И все-таки при добавлении пустой карты в колоду, какая зависимость появляется между независимыми событиями?

[gris]

Можно так перекрасить колоду, что часть пар событий станет зависимыми, а часть останутся незавсимыми. Например, в обычной колоде всех тузов сделаем бубновыми, королей трефовыми, да, есссно, пиковыми и валетов червовыми. События "выбранная карта король" и "выбранная карта черва" станут зависимыми, а "выбранная карта семёрка" и "выбранная карта бубна" останутся независимыми.

Событие может быть связано как с одной, так и с несколькими картами. Как при доставании их по порядку, так и вне зависимости от порядка выкладывания. Пересечение событий также будет событием. Бывает независимость и нескольких событий, причём, как в совокупности, так и попарная. Это богатая тема.
Добавление пустой карты изменяет вероятность вытягивания заранее определённой масти, достоинства и конкретной карты. Но делает это негармонично, с разрушением баланса. Добавьте четыре двойки разных мастей и прежняя независимость сохранится. Добавьте 9 карт пустой масти от шестёрки до туза и независимость сохранится.

[JohnySC]

Давайте разберемся в понятиях и терминах. Под "зависимыми" событиями я понимаю события, которые могут влиять при выпадении, на вероятность других событий.
Вот есть событие - "вытащить туза и убрать из колоды". При выпадении этого события, вероятность вытащить еще одного туза уменьшается с 4 из 36, до 3 из 35. А при невыпадении вероятность наоборот увеличивается с 4 из 36, до 4 из 35. Т.е. вероятность второго события зависит от исхода первого. И вероятность второго события уже условна.
Но в то же время если мы определим событие как "вытащить туза и вернуть его обратно в любое место колоды", то при выпадении (или не выпадении) этого события, вероятность вытащить еще одного туза остается 4 из 36, как и была. Т.е. события независимы
Вы зависимость также понимаете?

[gris]

Я понимаю зависимость двух событий как неравенство вероятности их пересечения произведению вероятностей этих событий Увы, вот так формально.
А Вы два разных события считаете за одно и то же. Для событий с положительными вероятностями действительно независимость равносильна равенству вероятности первого события и его условной вероятности при наступлении второго события. Событие с нулевой вероятностью независимо даже от себя.
Ну у нас вероятности положительны.
Ну давайте Ваш случай. События "первая вынутая карта из колоды туз", "первая вынутая карта из оставшейся колоды туз" равновероятны, но зависимы.
События "первая вынутая карта из колоды туз", "первая вынутая карта из восстановленой колоды туз" равновероятны и независимы.