Для событий с положительными вероятностями действительно независимость равносильна равенству вероятности первого события и его условной вероятности при наступлении второго события.
Маленькая поправка: нужно ещё равенство вероятности первого события и его условной вероятности при
ненаступлении второго события.
Вообще-то, имеют место такие утверждения:
1) Если

, то

и

независимы тогда и только тогда, когда

;
2) Если

, то

и

независимы тогда и только тогда, когда

.
Независимость событий

и

понимается как равенство

.
Условная вероятность

при условии

, где

, определяется как

.