Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.

[Geros]

Здравствуйте.

Верно ли, что в любой компактной (недискретной) группе Ли существует подгруппа изоморфная окружности (с обычным умножением на окружности)?

Если да, то как это доказать, подскажие.

P. S. Для линейных групп Ли это, вроде, очевидно (да?).

Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

это был вопрос о том, существуют ли на компактном римановом многообразии замкнутые геодезические

[apriv]

Geros в сообщении #792071 писал(а):

Верно ли, что в любой компактной (недискретной) группе Ли существует подгруппа изоморфная окружности (с обычным умножением на окружности)?

Верно. Возьмите одномерное подпространство в касательной алгебре Ли.

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #792223 писал(а):

Верно. Возьмите одномерное подпространство в касательной алгебре Ли.

что пространство натянутое на любой вектор из алгебры? Хорошо, взял, и дальше что?

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #792254 писал(а):

что пространство натянутое на любой вектор из алгебры? Хорошо, взял, и дальше что?

А дальше нужно посмотреть на соответствующий гомоморфизм из $\mathbb R$ в группу Ли: замыкание его образа является связной абелевой подгруппой.

[Oleg Zubelevich]

берем двумерный тор, это абелева группа. и берем вектор из алгебры, который порождает квазипериодическую обмотку тора. вопрос: как из этой обмотки изготовить подруппу изоморфную $S^1$?

[apriv]

См. выше — замыкание образа является связной абелевой подгруппой. Связная абелева подгруппа компактной группы Ли обязана быть тором. В Вашем примере это весь тор и будет. После этого найти окружность в торе — не проблема.

[Oleg Zubelevich]

понял, ну мой вариант был такой же по сложности

[Munin]

apriv в сообщении #792279 писал(а):

замыкание его образа является связной абелевой подгруппой.

Компактность должна в этом пункте сыграть? Как именно?

[apriv]

Munin в сообщении #792331 писал(а):

Компактность должна в этом пункте сыграть? Как именно?

Никак: замыкание образа всегда является подгруппой, и она абелева для хаусдорфовых групп. Она связна, поскольку $\mathbb R$ связно.

[Munin]

Но замыкание образа не всегда будет содержать окружность. Пример: плоскость.

[apriv]

Munin в сообщении #792618 писал(а):

Но замыкание образа не всегда будет содержать окружность. Пример: плоскость.

Поэтому читаем следующее предложение:

apriv в сообщении #792284 писал(а):

Связная абелева подгруппа компактной группы Ли обязана быть тором.

[Oleg Zubelevich]

Вместе с левоинвариантной метрикой группа Ли является римановым многообразием. По какой-то там теореме на компактном римановом многообразии должны существовать замкнутые геодезические. Сдвинем такую геодезическую так, чтоб она прошла через единицу группы. Получили искомую подгруппу.

[Munin]

apriv в сообщении #792284 писал(а):

Связная абелева подгруппа компактной группы Ли обязана быть тором.

Спасибо, и как это доказывается?

[apriv]

Munin в сообщении #792631 писал(а):

Спасибо, и как это доказывается?

Во-первых, связная абелева компактная группа Ли — это тор. Во-вторых, замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли. Для первого можно опять рассмотреть отображение экспоненты из алгебры Ли, его ядро тогда будет дискретной подгруппой векторного пространства. Для второго — ну, это что-то стандартное; концептуального доказательства я чего-то не могу вспомнить, а трудовое написано во всех книжках (типа Adams, Lectures on Lie groups) и выглядит как-то так.