2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 14:29 
Здравствуйте.

Верно ли, что в любой компактной (недискретной) группе Ли существует подгруппа изоморфная окружности (с обычным умножением на окружности)?

Если да, то как это доказать, подскажие.

P. S. Для линейных групп Ли это, вроде, очевидно (да?).

Заранее спасибо.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 15:17 
это был вопрос о том, существуют ли на компактном римановом многообразии замкнутые геодезические

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 19:23 
Geros в сообщении #792071 писал(а):
Верно ли, что в любой компактной (недискретной) группе Ли существует подгруппа изоморфная окружности (с обычным умножением на окружности)?

Верно. Возьмите одномерное подпространство в касательной алгебре Ли.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 20:42 
apriv в сообщении #792223 писал(а):
Верно. Возьмите одномерное подпространство в касательной алгебре Ли.

что пространство натянутое на любой вектор из алгебры? Хорошо, взял, и дальше что?

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 21:35 
Oleg Zubelevich в сообщении #792254 писал(а):
что пространство натянутое на любой вектор из алгебры? Хорошо, взял, и дальше что?

А дальше нужно посмотреть на соответствующий гомоморфизм из $\mathbb R$ в группу Ли: замыкание его образа является связной абелевой подгруппой.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 21:42 
берем двумерный тор, это абелева группа. и берем вектор из алгебры, который порождает квазипериодическую обмотку тора. вопрос: как из этой обмотки изготовить подруппу изоморфную $S^1$?

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 21:52 
См. выше — замыкание образа является связной абелевой подгруппой. Связная абелева подгруппа компактной группы Ли обязана быть тором. В Вашем примере это весь тор и будет. После этого найти окружность в торе — не проблема.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 21:53 
понял, ну мой вариант был такой же по сложности

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение24.11.2013, 23:02 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #792279 писал(а):
замыкание его образа является связной абелевой подгруппой.

Компактность должна в этом пункте сыграть? Как именно?

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение25.11.2013, 21:07 
Munin в сообщении #792331 писал(а):
Компактность должна в этом пункте сыграть? Как именно?

Никак: замыкание образа всегда является подгруппой, и она абелева для хаусдорфовых групп. Она связна, поскольку $\mathbb R$ связно.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение25.11.2013, 21:20 
Аватара пользователя
Но замыкание образа не всегда будет содержать окружность. Пример: плоскость.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение25.11.2013, 21:23 
Munin в сообщении #792618 писал(а):
Но замыкание образа не всегда будет содержать окружность. Пример: плоскость.

Поэтому читаем следующее предложение:
apriv в сообщении #792284 писал(а):
Связная абелева подгруппа компактной группы Ли обязана быть тором.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение25.11.2013, 21:32 
Вместе с левоинвариантной метрикой группа Ли является римановым многообразием. По какой-то там теореме на компактном римановом многообразии должны существовать замкнутые геодезические. Сдвинем такую геодезическую так, чтоб она прошла через единицу группы. Получили искомую подгруппу.

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение25.11.2013, 21:49 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #792284 писал(а):
Связная абелева подгруппа компактной группы Ли обязана быть тором.

Спасибо, и как это доказывается?

 
 
 
 Re: Подгруппа-окружность в компактной группе Ли.
Сообщение25.11.2013, 22:35 
Munin в сообщении #792631 писал(а):
Спасибо, и как это доказывается?

Во-первых, связная абелева компактная группа Ли — это тор. Во-вторых, замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли. Для первого можно опять рассмотреть отображение экспоненты из алгебры Ли, его ядро тогда будет дискретной подгруппой векторного пространства. Для второго — ну, это что-то стандартное; концептуального доказательства я чего-то не могу вспомнить, а трудовое написано во всех книжках (типа Adams, Lectures on Lie groups) и выглядит как-то так.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group