2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 16:54 
Добрый день, помогите пожалуйста разобраться с решением дифференциального уравнения.
$\[\begin{gathered}
  y'{'^4} = y{'^5} - yy{'^3}y'' \hfill \\
  y' = z;y'' = zz' \hfill \\
  {z^4}z{'^4} = {z^5} - y{z^4}z' \hfill \\
  z{'^4} = z - yz' \hfill \\
  z' = p \hfill \\
  {p^4} = z - py \hfill \\
  z = {p^4} + py \hfill \\
  dz = pdy + (4{p^3} + y)dp \hfill \\
  dy = dy + (4{p^2} + \frac{y}{p})dp \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
1)
$\[\begin{gathered}
  dp = 0 \hfill \\
  p = c \hfill \\
  z = {c^4} + cy \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
2)
$\[\begin{gathered}
  4{p^2} + \frac{y}{p} = 0 \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  y =  - 4{p^3} \hfill \\
  z =  - 3{p^4} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
Верно ли все это? Если да,то я не понимаю, что делать дальше. Каким образом делать обратную замену?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 17:55 
Аватара пользователя
Так вы в пункте 2 обратно перейдите и проинтегрируйте.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 18:13 
А что делать с пунктом 1 ?

Не совсем понимаю, как перейти обратно и проинтегрировать.
как-то так?
$\[\begin{gathered}
  y =  - 4z{'^3} \hfill \\
  z =  - \sqrt[3]{4}{y^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ 
\end{gathered} \]$

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 19:36 
Аватара пользователя
Да, так.
В пункте 1 тоже вернитесь назад и интегрируйте.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 20:50 
из 2-го пункта получаем
$\[x = \frac{1}{{3*\sqrt[3]{{4y}}}} + c\]$
а из 1-го
$\[x = \frac{{\ln ({c_1}^4 + cy)}}{{{c_1}}} + {c_2}\]$
А так же, частное решение $\[y = 0\]$
Верно ли это?И все ли частные решения я учел?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 21:24 
Аватара пользователя
Rostislav1 в сообщении #792151 писал(а):
$\[\begin{gathered}y'{'^4} = y{'^5} - yy{'^3}y'' \hfill \\y' = z;y'' = zz' \hfill \end{gathered} \]$
А у Вас штрих что обозначает? Я догадываюсь, что производную, но по какой переменной?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 21:28 
Цитата:
А у Вас штрих что обозначает? Я догадываюсь, что производную, но по какой переменной?

$\[z' = \frac{{dz}}{{dy}},y' = \frac{{dy}}{{dx}}\]$

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 21:30 
Аватара пользователя
А как потом отличить одно от другого?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 21:34 
Цитата:
А как потом отличить одно от другого?

Что-то я не понял, что от чего отличать? $\[z'\]$ - всегда производная от $\[z\]$ по $\[y\]$, а $\[y'\]$ - всегда производная $\[y\]$ по $\[x\]$

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 22:30 
Аватара пользователя
Rostislav1 в сообщении #792278 писал(а):
Что-то я не понял, что от чего отличать? $\[z'\]$ - всегда производная от $\[z\]$ по $\[y\]$, а $\[y'\]$ - всегда производная $\[y\]$ по $\[x\]$
Нет, не всегда: $y''=(y')'=z'=z'y'=z'z$. Третье равенство здорово выглядит, не правда ли?

А у Вас вообще какая проблема на данный момент осталась?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение24.11.2013, 23:38 
Цитата:
А у Вас вообще какая проблема на данный момент осталась?

Я хотел бы узнать верно ли мое решение, и особенно то, что я написал здесь
Rostislav1 в сообщении #792256 писал(а):
из 2-го пункта получаем
$\[x = \frac{1}{{3*\sqrt[3]{{4y}}}} + c\]$
а из 1-го
$\[x = \frac{{\ln ({c_1}^4 + cy)}}{{{c_1}}} + {c_2}\]$
А так же, частное решение $\[y = 0\]$
Верно ли это?И все ли частные решения я учел?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение25.11.2013, 00:19 
Аватара пользователя
Rostislav1 в сообщении #792256 писал(а):
А так же, частное решение $\[y = 0\]$
Верно ли это?И все ли частные решения я учел?
Когда Вы принимали $y$ за независимую переменную, Вы могли потерять решения вида $y=C$. Подходящие значения $C$ можно найти, подставив эту функцию в заданное уравнение.

Rostislav1 в сообщении #792256 писал(а):
а из 1-го
$\[x = \frac{{\ln ({c_1}^4 + cy)}}{{{c_1}}} + {c_2}\]$
Уравнение $y'=C_1y+C_1^4$ — линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Неужели его общее решение нужно записывать в таком страшном виде?

Rostislav1 в сообщении #792186 писал(а):
$z =  - \sqrt[3]{4}{y^{\frac{4}{3}}}$
У меня получилось другое выражение и, соответственно, другое решение.

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение25.11.2013, 10:29 
Аватара пользователя
Rostislav1 в сообщении #792349 писал(а):
Я хотел бы узнать верно ли мое решение, и особенно то, что я написал здесь


Когда выражали $z$, там эта четверка снизу :)

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение25.11.2013, 20:20 
$\[\begin{gathered}
  z =  - \frac{{3{y^{\frac{4}{3}}}}}{{4\sqrt[3]{4}}} = \frac{{dy}}{{dx}} \hfill \\
  \frac{1}{{\sqrt[3]{y}}} =  - \frac{3}{{4\sqrt[3]{4}}}x \hfill \\
  y =  - \frac{{256}}{{3x}} + c \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
Верно?
Цитата:
Уравнение $y'=C_1y+C_1^4$ — линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Неужели его общее решение нужно записывать в таком страшном виде?

Но можно же оставить в таком виде?
Цитата:
Когда Вы принимали $y$ за независимую переменную, Вы могли потерять решения вида $y=C$.

Я делил на $\[{z^4} \ne 0\]$ и на $ \[z' \ne 0\]$, из первого, $\[y = c\]$, а из второго, $\[y = {c_1}x + {c_2}\]$ ,так?

 
 
 
 Re: Дифференциальное уравнение второго порядка
Сообщение25.11.2013, 21:15 
Аватара пользователя
Rostislav1 в сообщении #792587 писал(а):
$\[\begin{gathered} z =  - \frac{{3{y^{\frac{4}{3}}}}}{{4\sqrt[3]{4}}} = \frac{{dy}}{{dx}} \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt[3]{y}}} =  - \frac{3}{{4\sqrt[3]{4}}}x \hfill \\ y =  - \frac{{256}}{{3x}} + c \end{gathered} \]$
Верно?
Первое верно. Второе — нет. Третье — вообще бред.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group