Тот самый момент инерции

[chuck1368]

Помогите вывести формулу для момента инерции тонкой пластины со сторонами a и b относительно оси проходящей через вершину пластины . Сразу скажу ,что решить нужно без двойных интегралов,а через обычный ,я просто не понимаю что мне интегрировать.Очевидно,здесь можно разбить на полоски треугольники.Но здесь я не могу дальше сообразить.Помогите пожалуйста ,защита висит третью неделю

[Munin]

chuck1368 в сообщении #791730 писал(а):

Сразу скажу ,что решить нужно без двойных интегралов,а через обычный

Это довольно странное требование.

Если необходимо обходиться без правильных интегралов, то вариант один: разбить тело на такие кусочки, чтобы вклад каждого отдельного кусочка в момент инерции можно было найти без интегрирования. Это будут слои или полоски, находящиеся на равном расстоянии от оси вращения. Тогда вклад каждого кусочка можно найти как $r^2dm,$ а массу - по площади полоски или по объёму слоя. Эту площадь или объём иногда можно найти без интегрирования. В вашем случае - можно.

[Oleg Zubelevich]

оператор инерции $J_S$ можно посчитать в тех осях в которых это удобно(например в главных осях), а потом вспомнить, что момент инерции относительно оси, проходящей через точку $S$ вдоль единичного вектора $\overline e$, вычисляется по формуле $(\overline e,J_S\overline e)$

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #791856 писал(а):

а потом вспомнить, что момент инерции относительно оси, проходящей через точку $S$

,...вычисляется по теорема Штейнера...

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #791867 писал(а):

вычисляется по теорема Штейнера...

ну посчитайте по теореме Штейнера момент инерции относительно диагонали прямоугольной пластинки

[chuck1368]

решение только через интеграл мне подсказал препод,задача ,как он говорит простая ,ноя не понимаю,здесь уже использовали и поверхностный интеграл и двойной ,и записывали координаты для прямых.по теореме штейнера неверно,я пытался не принял.я в [censored] ребят ,если честно

Toucan:

См. post792021.html#p792021

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #791856 писал(а):

оператор инерции $J_S$ можно посчитать в тех осях в которых это удобно(например в главных осях), а потом вспомнить, что момент инерции относительно оси, проходящей через точку $S$ вдоль единичного вектора $\overline e$, вычисляется по формуле $(\overline e,J_S\overline e)$

Это хороший рецепт: посчитать три интеграла вместо одного, а потом два ненужных выбросить. Я всегда знал, что вы дадите ценный совет в трудную минуту.

nikvic в сообщении #791867 писал(а):

,...вычисляется по теорема Штейнера...

Тоже очень ценное замечание. Оно упростит интеграл неимоверно... дайте прикинуть... в целый 1 раз.

-- 24.11.2013 02:55:16 --

chuck1368 в сообщении #791924 писал(а):

решение только через интеграл мне подсказал препод,задача ,как он говорит простая ,ноя не понимаю

Если отвлечься от "медвежьих услуг" Oleg Zubelevich и nikvic, то чего вам непонятно в предложенном мной способе?

(Оффтоп)

chuck1368 в сообщении #791924 писал(а):

[censored] ребят ,если честно

Здесь не матерятся.

[Oleg Zubelevich]

chuck1368 в сообщении #791730 писал(а):

относительно оси проходящей через вершину пластины

ось не задают одной точкой, относительно какой оси вы считаете момент?

-- Вс ноя 24, 2013 09:01:40 --

я имел в виду следующее

$$J_l=J_x\cos^2\alpha+J_y\sin^2\alpha,\quad \tg\alpha=a/b$$

chuck1368 в сообщении #791730 писал(а):

Сразу скажу ,что решить нужно без двойных интегралов,

что невозможно, поскольку двойной интеграл стоит в определении момента инерции. другое дело, что относительно осей параллельных $x$ либо $y$ этот двойной интеграл мгновенно превращается в одинарный

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #791953 писал(а):

ось не задают одной точкой, относительно какой оси вы считаете момент?

Довольно очевидно, что речь об оси, перпендикулярной пластине.

Oleg Zubelevich в сообщении #791953 писал(а):

что невозможно, поскольку двойной интеграл стоит в определении момента инерции.

Даже тройной... Впрочем, то, что вы не знаете, что является определением, а что выводимым фактом, во многих случаях, о которых берётесь говорить, общеизвестно.

[nikvic]

chuck1368 в сообщении #791730 писал(а):

Помогите вывести формулу для момента инерции тонкой пластины со сторонами a и b относительно оси проходящей через вершину пластины .

А куда ось-то смотрит?

[miflin]

Это должно помочь:
http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=142

Цитата:

Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью z, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей х и у.

[Toucan]

chuck1368, предупреждение за ненормативную лексику.

[Xey]

Munin в сообщении #791961 писал(а):

речь об оси, перпендикулярной пластине.

Oleg Zubelevich в сообщении #791953 писал(а):

я имел в виду следующее

Я понял, через вершину угла , в плоскости пластины, но про центр тяжести не упоминается.

[chuck1368]

Если бы я мог запостить картинку ,я бы её сюда залил,потому что рисунок более подробно описывает ситуацию ,на словах тяжело объяснить

[Munin]

Xey в сообщении #792043 писал(а):

Я понял, через вершину угла , в плоскости пластины, но про центр тяжести не упоминается.

Тогда бы это произнесли как-то иначе, например, как произнёс Oleg Zubelevich, "относительно диагонали пластины".

Я моделирую степень неаккуратности преподавателя, давшего такую неточную формулировку, и даже не заметившего её неоднозначности.

-- 24.11.2013 17:34:04 --

chuck1368 в сообщении #792048 писал(а):

Если бы я мог запостить картинку ,я бы её сюда залил,потому что рисунок более подробно описывает ситуацию ,на словах тяжело объяснить

Ну, если есть картинка, моё мнение аннулируется. Картинка может пояснять что угодно.

-- 24.11.2013 17:34:43 --

chuck1368
Залейте картинку на любой хостинг изображений.